2024届高考数学一轮复习讲义： 离散随机变量的数据特征

课题：离散随机变量的数据特征 知识点 1．离散型随机变量的均值 （1）一般地，若离散型随机变量X的分布列为： 则称E（X）＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． （2）若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E（aX＋b）＝aE（X）＋b （3）若X服从两点分布，则E（X）＝p； （4）若X～B（n，p），则E（X）＝np． 2．离散型随机变量的方差 （1）设离散型随机变量X的分布列为 则（xi－E（X））2描述了xi（i＝1,2，…，n）相对于均值E（X）的偏离程度， 而D（X）＝（xi－E（X））2pi　为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E（X）的平均偏离程度．称D（X）为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的标准差． （2）D（aX＋b）＝a2D（X）． （3）若X服从两点分布，则D（X）＝p（1－p） （4）若X～B（n，p），则D（X）＝np（1－p） 【注1】 1．求离散型随机变量均值、方差的基本方法 （1）已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义（公式）求解； （2）已知随机变量的均值、方差，求的线性函数的均值、方差和标准差，可直接用的均值、方差的性质求解； （3）如能分析所给随机变量是服从常用的分布（如两点分布、二项分布等），可直接利用它们的均值、方差公式求解． 2．求离散型随机变量均值的步骤 （1）理解随机变量的意义，写出可能取得的全部值； （2）求的每个值的概率； （3）写出的分布列； （4）由均值定义求出． 3．均值、方差的性质 （1） （为常数） （2） （为常数） （3） （4）如果相互独立，则 （5） （6） 4．均值与方差性质的应用若是随机变量，则一般仍是随机变量，在求的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求的分布列带来的繁琐运算． 典型例题 例1抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在8次试验中，成功次数ξ的期望是______________ 例2某人喜欢玩有三个关卡的通关游戏，根据他的游戏经验，每次开启一个新的游戏，这三个关卡他能够通关的概率分别为（这个游戏的游戏规则是：如果玩者没有通过上一个关卡，他照样可以玩下一个关卡，但玩该游戏的得分会有影响），则此人在开启一个这种新的游戏时，他能够通过两个关卡的概率为__________，设表示他能够通过此游戏的关卡的个数，则随机变量的数学期望为__________． 例3已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束． （1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； （2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列． 例4某学校用“10分制”调查本校学生对教师教学的满意度，现从学生中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们对该校教师教学满意度的分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）： （1）若教学满意度不低于9．5分，则称该生对教师的教学满意度为“极满意”．求从这16人中随机选取3人，至少有1人是“极满意”的概率； （2）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校所有学生中（学生人数很多）任选3人，记表示抽到“极满意”的人数，求的分布列及数学期望． 例5某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的个人单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况．若一个运动员出线记分，未出线记分．假设甲、乙、丙出线的概率分别为，他们出线与未出线是相互独立的． （1）求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率； （2）记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员所得分之和为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望． 例6某企业生产的一批产品中有一、二、三等品及次品共四个等级，1件不同等级产品的利润（单位：元）如表1，从这批产品中随机抽取出1件产品，该件产品为不同等级的概率如表2． 等级 一等品 二等品 三等品 次品 等级 一等品 二等品 三等品 次品 利润 表1 表2 若从这批产品中随机抽取出的1件产品的平均利润（即数学期望）为元． （1） 设随机抽取1件产品的利润为随机变量 ，写出的分布列并求出的值； （2） 从这批产品中随机取出3件产品，求这3件产品的总利润不低于17