第5章二次函数 抛物线与平行四边形的综合 练习2023-2024学年苏科版数学九年级下册

第5章二次函数 (抛物线与平行四边形的综合) 【典型例题】 题型一：抛物线与平行四边形的综合 【例题】如图，抛物线与y轴交于点A（0，1），过点A的直线与抛物线交于另一点B（3，），过点B作BC⊥x轴，垂足为C． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是x轴正半轴上的一动点，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设OP的长度为m．①当点P在线段OC上（不与点O、C重合）时，试用含m的代数式表示线段PM的长度； ②如果以点M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求m的值． 【变式训练】 1.如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的二次函数解析式： （2）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标； 2.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝，其图象与直线y＝x+2交于C，D两点，其中点C在y轴上，点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P的横坐标为x0，当x0为何值时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由． 3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 4.如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，OA＝2，OB＝4，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接AD，BD，BC，CD． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点D在x轴的下方，当△BCD的面积是时，求△ABD的面积； （3）在（2）的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 5.如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B，且与x轴交于点C，连接BC． （1）求b、c的值； （2）点P为线段AC上一动点（不与A、C重合），过点P作直线PD∥AB，交BC于点D，连接PB，设PC＝n，△PBD的面积为S，求S关于n的函数关系式，并写出自变量n的取值范围； （3）在（2）的条件下，当S最大时，点M在抛物线上，在直线PD上，是否存在点Q，使以M、Q、P、B为顶点为四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【巩固提升】 1.如图，抛物线ybx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点且AC为一边的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 2.如图，直线yx+c与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C，抛物线yx2+bx+c经过点A，C，与x轴的另一个交点为B（1，0），连接BC． （1）求抛物线的函数解析式． （2）P为抛物线上一动点，Q为x轴上一动点，当以B，C，Q，P为顶点的四边形为平行四边形时，求点P的坐标． 3.如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，，经过点的抛物线与直线的另一个交点为点，点的横坐标为6． （1）求抛物线的表达式． （2）为抛物线上的动点，为轴上一点.当四边形CDMN为平行四边形时，求点M的坐标。 4.已知二次函数的图象与x轴交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）， （1）求二次函数的表达式及A点坐标； （2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线AC的距离取得最大值时点D的坐标； （3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程）． 5.如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点B（3，0），C（0，﹣2），直线l：y＝﹣x﹣交y轴于点E，且与抛物线交于A，D两点，P为抛物线上一动点（不与A，D重合）． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P在直线l下方时，过点P作PM∥x轴交l于点M，PN∥y轴交l于点N，求PM+PN的最大值． （3）设F为直线l上的点，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由． 6.如图，抛物线与轴交于、两点