专题19 函数的应用（3知识点+4题型+3考法）-【专题突破】2023-2024学年高一数学阶段复习考点归纳总结突破练（人教A版2019必修第一册）

专题19 ：函数的应用（3知识点+4题型+3考法）函数与方程 常考题型 二分法概念及应用 零点存在性定理 函数的零点的概念 题型一：函数的零点 题型二：已知函数零点个数求参数的范围 题型三：嵌套函数的零点个数求参数 题型四：二分法及应用 考法一：求函数的零点 考法二：求函数零点所在区间 考法三：求函数零点个数 知识点一：函数的零点 1.概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. 2.函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系： 知识点二：零点存在性定理 （1）零点存在性定理：如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根. （2）零点存在定理注意事项 ①函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线； ②f(a)·f(b)<0.这两个条件缺一不可，否则结论不一定成立. 满足上述两个条件，则函数y＝f(x)的图象至少穿过x轴一次，即方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数根c，但不能确定有几个，只有再借助于f(x)在(a，b)内的单调性才能确定f(x)在(a，b)内零点的个数. 知识点三：二分法概念及应用 （1）定义：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. （2）用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的步骤： ①确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0； ②求区间(a，b)的中点c； ③计算f(c)，进一步确定零点所在的区间： ④若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； ⑤若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； ⑥若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. （3） 判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4).　 题型一：函数的零点 考法一：求函数的零点 解题思路：函数零点的求法： (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根． (2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点． 例1．函数的零点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程，即可得出答案. 【详解】解方程，即， 解得或，因此，函数的零点为. 故选：. 例2．已知函数则函数的零点为 【答案】 【分析】结合函数的解析式分类讨论求解即可． 【详解】当时，由，即，解得或（舍）， 当时，由，解得， 综上可得，函数的零点为． 故答案为：． 例3．已知函数则函数的所有零点构成的集合为 ． 【答案】 【分析】本题即求方程的所有根的集合，先解方程，得到，然后再解方程，可得所求． 【详解】函数的零点，即方程的所有根， 令，根据函数，方程的解是， 则方程的根，即为方程的根， 当时，，由，， 当时，，由，， 综上，函数所有零点构成的集合是. 故答案为：. 变式训练 4．函数的零点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程，可得函数的零点. 【详解】解方程，即，解得或， 因此，函数的零点为、. 故选：C. 5．函数的零点个数为 . 【答案】 【分析】根据零点的定义，结合分段函数的性质，分情况建立方程，可得答案. 【详解】当时，令，则，解得，故为函数的零点； 当时，令，则，解得，故为函数的零点. 故答案为：. 6．下列命题为真命题的是（    ） A．函数的图象过点，则 B．函数的零点是, C．函数的定义域为R，若是奇函数，是偶函数，则 D．函数的零点所在区间可以是 【答案】ACD 【分析】对选项A，根据幂函数的解析式求解即可判定A正确，对选项B，根据函数零点的概念即可判定B错误，对选项C，根据已知条件得到函数的周期为4，即可判定C正确，对选项D，根据在为增函数和即可判定D正确. 【详解】选项A：设幂函数，由得，故选项A正确； 选项B：令得或1， 所以的零点为和，故选项B不正确； 选项C：因为是偶函数，所以， 因为是奇函数，所以， 所以， 因此函数的周期为4，所以，故选项C正确； 选项D：因为函数在时单调递增， 而，，即，故选项D正确， 故选：ACD 考法二：求函数零点所在区间 解题思路：函数f(x)零点所在区间方法 1.解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上.