3.2.2 双曲线的简单几何性质课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2 双曲线的性质 答辩人：Damon 3.2.2 双曲线的简单几何性质（1） 第三章 圆锥曲线的方程 1 复习 定义 图形 方程 焦点 a,b,c 的关系 | |MF1|-|MF2| | =2a (0 < 2a<|F1F2|) F1(-c, 0),F2(c, 0) F1(0,-c),F2(0,c) 化成标准形式，焦点跟着正项走. 学习目标：1.了解双曲线的几何图形及简单几何性质 2.通过双曲线的方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解双曲线的简单应用 2 问题1：双曲线x的范围是什么？ x y -a a O （1）范围 追问：若焦点在y轴时，对应的x与y的范围分别是什么？ y∈R 3 双曲线既关于坐标轴对称，又关于原点对称． （2）对称性 o 坐标轴是双曲线的对称轴, 原点是双曲线的对称中心. 双曲线的对称中心叫做双曲线的中心. 所以双曲线关于坐标轴、原点对称． 问题2：类比椭圆的对称，双曲线的对称和椭圆是否一样？ 4 o （3）顶点 “数”的角度： 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a, a叫做双曲线的实半轴长； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长. 能否把 画在轴上？ 2a 2b 实轴与虚轴等长的双曲线，称为等轴双曲线． 问题3： 类比椭圆求顶点的方法，双曲线有多少个顶点? 5 实轴与虚轴等长的双曲线，称为等轴双曲线． 问题4： 什么是等轴双曲线？方程如何表示？ 实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交． （4）渐近线 问题5： 渐近线的定义是什么？特点？ + 7 双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小 5.离心率 双曲线的焦距与实轴长的比 , 叫做双曲线的离心率. ∵c>a>0 ∴e >1 (1)定义： (2)e的范围： (3)e的含义：e越接近1，双曲线开口越小； e越大，双曲线开口越大. (4)等轴双曲线的离心率e= ? y B2 A1 A2 B1 x O F2 F1 • • 问题6：离心率与椭圆的区别是什么？ + ①等轴双曲线的方程：x2-y2=m (m≠0) y B2 A1 A2 B1 x O F2 F1 • • y B2 A1 A2 B1 x O F2 F1 • • ②等轴双曲线的渐近线：y=±x (两条渐近线相互垂直） ③ 问题7：等轴双曲线的离心率和渐近线如何求？ + 例3 求双曲线9y2 – 16x2 =144的实半轴与虚半轴长,焦点坐标,离心率及渐近线方程, 并画出双曲线草图. 解： 3 -3 4 -4 x y O • • F1(0,-5) F2(0,5) LOGO 11 共渐近线的方程 12 由双曲线的几何性质确定标准方程 14 方程 图形 范围 对称性 顶点 渐近线 关于x, y轴对称, 关于原点对称, 对称中心叫做双曲线的中心 A1(-a,0), A2(a,0) 线段A1A2叫实轴, 长度为2a 线段B1B2叫虚轴, 长度为2b A1 (0,-a ), A2(0, a ) 线段A1A2叫实轴 , 长度为2a 线段B1B2叫虚轴 , 长度为2b y B2 A1 A2 B1 x O F2 F1 • • x y B1 A2 A1 B2 O F1 F2 • • 课堂小结 作业：课本P124练习1、2，4 16 [例1]　求过点(2，－2)且与 eq \f(x2,2) －y2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程． [解]　法一：当焦点在x轴上时，由于 eq \f(b,a) ＝ eq \f(\r(2),2) . 故可设方程为 eq \f(x2,2b2) － eq \f(y2,b2) ＝1， 代入点(2，－2)得b2＝－2(舍去)； 当焦点在y轴上时，可知 eq \f(a,b) ＝ eq \f(\r(2),2) . 故可设方程为 eq \f(y2,a2) － eq \f(x2,2a2) ＝1， 代入点(2，－2)得a2＝2. 所以所求双曲线方程为 eq \f(y2,2) － eq \f(x2,4) ＝1. 求满足下列条件的双曲线的标准方程． (2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝± eq \f(3,2) x. (2)设以y＝± eq \f(3,2) x为渐近线的双曲线方程为 eq \f(x2,4) － eq \f(y2,9) ＝λ(λ≠0)， 当λ>0时，a2＝4λ，∴2a＝2 eq \r(4λ) ＝6⇒λ＝ eq \f(9,4) . 当λ<0时，a2＝－9λ，∴2a＝2 eq \r(－9λ) ＝6⇒λ＝－1. ∴双曲线的标准方程为 eq \f(x2,9) － eq \f(4y2