5.1 一元一次方程（讲+练，4大题型）-【划重点】2023-2024学年七年级数学上册同步讲与练（浙教版）

5.1 一元一次方程 1. 了解方程和等式的概念;理解方程的解和解方程的意义,并会检验方程的解 2. 了解一元一次方程的概念:掌握等式的性质,并能利用性质探究一元一次方程的解法 3. 通过对实际问题中数量关系的分析,体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型,逐步形成数学的应用意识 知识点一 方程的概念 含有未知数的等式叫做方程. 方程必须同时具备两个条件:(1)是等式;(2)含有未知数. (1) 方程中的未知数可以是,也可以是其他字母,还可以含有多个未知数.例如:,,都是方程 (2) 如果等式中是未知数，是已知数，那么我们把这个方程叫做关于的方程,例如:若是未知数, 是已知数,则就是关于的方程 即学即练 判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 知识点二 一元一次方程的概念 1.一元一次方程的概念 方程中只含有一个未知数(元),未知数的次数都是1,等号两边都是整式,这样的方程叫做一元一次方程,如等. 2.一元一次方程具有如下特点: (1)只含有一个未知数 (2)所含未知数的项的最高次数为1 (3)含未知数的项的系数不为0 (4)一元一次方程是由整式组成的,即一元一次方程中分母不含未知数 3.一元一次方程的标准形式 任何一个一元一次方程变形后总可以化为的形式其中是未知数，是已知数,且.我们把叫做一元一次方程的标准形式 注意 判断一个方程是否为一元一次方程,要先将整式方程化简整理,再按一元一次方程的概念去判断.如,虽然的次数出现了2,但化简之后为或,可知它是一元一次方程 即学即练1 下列各式中，①；②③；④；⑤；⑥⑦⑧哪些是方程 ，哪些是一元一次方程 ．（将序号写到横线上） 即学即练2 （2023春·重庆九龙坡·七年级重庆市育才中学校考阶段练习）已知关于的方程是一元一次方程，则的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．以上结果均不是 知识点三 解方程与方程的解 1.解方程 解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值的过程 2.解 方程的解就是使方程中等号左右两边相等的未知数的值.(注意：只含一个未知数的方程的解也可以叫做方程的根.) 3.判断一个数是不是方程解的方法 把这个数分别代入方程中等号的两边,若等号两边的值相等,则该数是方程的解;反之,则不是方程的解 4.方程的解和解方程的区别与联系 区别:方程的解是解方程的结果，是具体的数值,而解方程是一个变形的过程 联系:解方程的目的是求出方程的解 即学即练 检验下列方程后面括号内所列各数是否为相应方程的解： (1)； (2)． 知识点四 根据实际问题列一元一次方程 分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程,是用数学的知识解决实际问题的一种方法列方程一般有三个环节: (1) 审题:提取问题中的数量信息，正确理解问题中表示数量关系的关键性词语,如多、少、倍、分、增加、减少等,这些词语体现了其中的数量关系 (2) 分析:理清问题中的关系,分析时可借用表格、图形等 (3) 建模:设出未知数并用含有未知数的代数式表示出其他未知量将问题转化为方程,可直接或间接设未知数 即学即练 在一次植树活动中，甲班植树的棵数比乙班多，乙班植树的棵数比甲班的一半多10棵．设乙班植树棵． (1)列两个不同的含的式子来表示甲班植树的棵数； (2)根据题意列出含未知数的方程； (3)检验乙班、甲班植树的棵数是不是分别为25棵和35棵． 知识点五 估算一元一次方程的解 对于一些简单的方程,估算方程的解可用尝试检验法,尝试检验法是一种十分重要的方法，它能帮助我们确定方程的解或者解的取值范围首先确定未知数的一个较小的取值范围,逐一将一些可取的值代入方程进行尝试检验，能使方程左右两边的值相等的未知数的值就是方程的解. 即学即练1（2022上·山东潍坊·七年级统考期末）按照下面表格中的步骤，估算方程的解时，第三次估算时x可以取的值是（    ） 估计的x的值 x的值 与方程右边2.2比较 第一次估算 0 3 小了 第二次估算 1 －1 大了 第三次估算 估计的x的值 A．0.1 B．2 C．0.3 D．－1 即学即练2先列方程，再估算出方程解． 甲型钢笔每支3元，乙型钢笔每支5元，用40元钱买了两种钢笔共10支，还多2元，问两种钢笔各买了多少支？ 解：设买了甲型钢笔x支，则乙型钢笔_________支，依题意得方程：_____________________． 这里x＞0，列表计算： 从表中看出 x(支) 1 2 3 4 5 6 7 8 3x＋5(10－x) (元) 48 46 44 42