4.3.2等比数列的前n项和公式（第2课时）（教学设计）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

4.3.2等比数列的前n项和公式（第2课时）教学设计 1、 课时教学内容 等比数列前n项和公式的推导及简单应用. 2、 课时教学目标 1.能够把实际问题转化成数列问题. 2.进一步熟悉通过建立数列模型并应用数列模型解决实际问题的过程． 3、 教学重点、难点 教学重点： 1. 等比数列前n项和的性质； 2. 等比数列前n项和公式的推导(错位相减法）及简单应用。 教学难点： 运用所学知识解决等差数列与等比数列的综合应用问题. 4、 教学过程设计 环节一 创设情境，引入课题 回顾上节课内容总结为： 1． 分类讨论的思想： (1)利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论． (2)研究等比数列的单调性时应进行讨论： 当a1>0，q>1或a1<0,0<q<1时为递增数列； 当a1<0，q>1或a1>0,0<q<1时为递减数列； 当q<0时为摆动数列；当q＝1时为常数列． 2．函数的思想：等比数列的通项an＝a1qn－1＝·qn(q>0且q≠1)常和指数函数相联系． 等比数列前n项和Sn＝·(qn－1)(q≠1)． 设A＝，则Sn＝A(qn－1)也与指数函数相联系． 3．整体思想：应用等比数列前n项和时，常把qn，当成整体求解． 环节二 观察分析，感知概念 例10如图4.3-2，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去． （1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和； （2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少? 分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列． 解：设正方形ABCD的面积为，后继各正方形的面积依次为，，…，，…，则 ． 由于第个正方形的顶点分别是第个正方形各边的中点，所以 ． 你能说明理由吗？ 因此，是以25为首项，为公比的等比数列． 设的前项和为． （1）． 所以，前10个正方形的面积之和为． （2）当无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和．而 ． 随着的无限增大，将趋近于0，将趋近于50． 所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50． 环节三 抽象概括，形成概念 例11去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理．预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨．为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）． 分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列．因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算． 解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列，年内通过填埋方式处理的垃圾总量为（单位：万吨），则 ， ， ． 当时，． 所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨． 环节四 辨析理解 深化概念 例12某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，，…． （1）写出一个递推公式，表示与之间的关系； （2）将（1）中的递推公式表示成的形式，其中，为常数； （3）求的值(精确到1)． 分析：（1）可以利用“每年存栏数的增长率为8%”和“每年年底卖出100头”建立与的关系； （2）这是待定系数法的应用，可以将它还原为（1）中的递推公式的形式，通过比较系数，得到方程组；（3）利用（2）的结论可得出解答． 解：（1）由题意，得，并且 ① （2）将化成 ② 比较①的系数，可得 ， 解这个方程组，得 ． 所以，（1）中的递推公式可以化为 ． 环节五 概念应用，巩固内化 （3）由（2）可知，数列是以为首项，1.08为公比的等比数列，则 ． 所以 ． 利用递推公式，借助于电子表格的计算，能快捷地求得（3）的结果．你可以试一试． 环节六 归纳总结,反思提升 问题：请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题： 1. 本节课学习的概念有哪些？ 2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 1．知识清单： (1)构造等比数列． (2)建立数学模型． 2．方法归纳：构造法、转化法． 3．常见误区：在实际问题中首项和项数弄错． 环节七 目标检测，作业布置 完成教材：第40页 练习 第1，2，3,4题 第40页 习题4.3 第1,2题 练习（第40页） 1．某教