4.3.2等比数列的前n项和公式（第2课时）（导学案）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

4.3.2等比数列的前n项和公式（第2课时）导学案 学习目标 1.能够把实际问题转化成数列问题. 2.进一步熟悉通过建立数列模型并应用数列模型解决实际问题的过程． 重点难点 1.掌握等比数列前n项和的性质． 2．能够运用所学知识解决等差数列与等比数列的综合应用问题. 课前预习 自主梳理 知识点1．等比数列前n项和的性质 (1)若数列{an}为非常数列的等比数列，且其前n项和Sn＝A·qn＋B(A≠0，B≠0，q≠0，q≠1)，则必有A＋B＝0；反之，若某一非常数列的前n项和Sn＝A·qn－A(A≠0，q≠0，q≠1)，则该数列必为等比数列． (2)如果公比q≠－1或虽q＝－1但n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等比数列． (3)当等比数列{an}的项数为偶数时，偶数项的和与奇数项的和之比＝q. 知识点2．分组求和 某些数列通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和． 知识点3　等比数列前n项和的实际应用 1．解应用问题的核心是建立数学模型． 2．一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型． 3．注意问题是求什么(n，an，Sn)． 注意： (1)解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答． (2)在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确． (3)在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系． (4)在近似计算时，要注意应用对数方法，且要看清题中对近似程度的要求． 自主检测 1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1) 对于公比的等比数列的前项和公式,其的系数与常数项互为相反数. ( ) (2) 数列的前项和为,则数列一定是等比数列. ( ) (3) 数列为等比数列,则成等比数列. ( ) (4) 若某数列的前项和公式为且,则此数列一定是等比数列. ( ) (5) 若等比数列{an}的前n项和Sn＝2×n＋m，则m＝－2.( ) (6) 若数列{an}是公比q≠1的等比数列，则其前n项和公式可表示为－Aqn＋A(A≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)．( ) 2.已知数列满足，，设，则数列的前6项和为（    ） A．127 B．255 C．31 D．63 3.数列{}中，已知对任意正整数n，有a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则（    ） A．(3n－1)2 B． (27n－1) C． (3n－1) D．27n－1 4.数列的前n项和为，，若，则m的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 5.设等比数列的前项和为，若，且的公比为整数，则（    ） A． B． C． D． 新课导学 学习探究 环节一 创设情境，引入课题 回顾上节课内容总结为： 1． 分类讨论的思想： (1)利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论． (2)研究等比数列的单调性时应进行讨论： 当a1>0，q>1或a1<0,0<q<1时为递增数列； 当a1<0，q>1或a1>0,0<q<1时为递减数列； 当q<0时为摆动数列；当q＝1时为常数列． 2．函数的思想：等比数列的通项an＝a1qn－1＝·qn(q>0且q≠1)常和指数函数相联系． 等比数列前n项和Sn＝·(qn－1)(q≠1)． 设A＝，则Sn＝A(qn－1)也与指数函数相联系． 3．整体思想：应用等比数列前n项和时，常把qn，当成整体求解． 环节二 观察分析，感知概念 例10如图4.3-2，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去． （1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和； （2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少? 环节三 抽象概括，形成概念 例11去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理．预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨．为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）． 环节四 辨析理解 深化概念 例12某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，，…． （1）写出一个递推公式，表示与之间的关系； （2）将（1）中的递推公式表示成的形式，其中，为常数； （3）求的值(精确到1)． ． 环节五 概