4.3.2等比数列的前n项和公式（2）教学设计-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

课题 4.3.2等比数列的前n项和公式（2） 课型 新授课 一、内容及其解析 1.内容 利用等比数列前n项和公式解决几何问题和实际应用问题． 2.内容解析 本节选自《普通高中数学选择性必修第二册》人教A版（2019）第四章第三节，本节教材的编排与《等差数列前n项和》类似，也利用等比数列的通项公式和性质导出前n项和公式，让学生经历公式的推导过程，体会化无限为有限，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思，最后通过举例说明前n项和公式在解决问题中的应用． 本节课通过解决与等比数列求和相关的几何问题和实际问题，进一步巩固等比数列的递推公式、通项公式以及前n项和公式，并对等比数列的前n项和公式有更深入的理解和认识，培养学生灵活运用公式解决问题的能力，同时经历解决问题的一般过程，感受数学在实际生活应用中发挥的作用，提升学生的数学建模素养． 蕴含的数学思想和方法： 通过几何问题情景和实际问题情境，发现几何问题和实际问题中蕴含的数据变化规律，进而抽象出学过的特殊数列模型（等差数列和等比数列），并能运用等比数列的概念、通项公式和前n项和公式、性质解决这些问题．在解决实际问题过程中，通过经历求解实际问题的一般过程，发展数学建模素养和逻辑推理素养． 知识的上下位关系： 等比数列的概念 几何问题 等比数列的通项公式 等比数列的前n项和公式 实际应用 育人价值： 利用所学数列知识解决实际问题，经历解决问题的一般过程，感受数学知识在解决实际问题时的作用，发展数学建模素养． 二、目标及其解析 1.目标 （1）经历几何中求解面积和的过程，掌握用等比数列前n项和公式解决实际问题的基本方法，发展数学抽象素养和数学运算素养； （2）经历解决与等差、等比有关的综合应用问题的过程，能够灵活使用等差、等比数列组合成新的数列来描述问题中的相关量，发展逻辑推理素养； （3）经历解决不容易发现等差等比关系的量的实际问题的过程，能够将某种形式的递推关系通过代数变换将数列转化为等差或等比数列，发展逻辑推理素养． 2.目标解析 达成上述目标的标志是： （1）学生在求面积和问题时，发现其中呈等比规律变化的的量，并构造出一个等比数列来刻画这种变化，将几何问题中求面积和的问题转化为求解等比数列前n项和的问题，利用等比数列的前n项和公式来解决问题； （2）学生能够在求解与等差、等比数列的综合应用问题时，根据实际情景先用数列表示出与所求量相关的两个变化的量所满足的数列，进而表示出所求量满足的数列，通过分组求和的方法将新数列的求和问题转化为已知的两种数列求和问题，进而解决该类实际问题； （2）学生能够在实际问题情境中的数据变化规律不明显的时候，先将数据的变化构建为一个用递推关系表示的数列，将递推关系再进一步通过代数变换转化为等差或等比数列或它们的线性组合，进而得到原数列的通项公式，最后借助等比数列的前n项和公式解决问题． 三、教学问题诊断分析 1.认知基础： 学生已经学习了等差数列的全部内容，对于一个特殊数列的研究内容和过程已经比较清晰，通过类比学生可以明确学习等比数列需要学习哪些内容以及研究方法；在上节课学生已经学习了等比数列的前n项和公式，也对给出一些基本量后该如何利用等比数列前n项和公式求解等比数列这类问题掌握了一定的解决方法． 2.可能存在的问题： 在实际问题中发现呈等比关系的量，尤其是在实际问题中的量不明显时，将其转化为等比数列，进而再灵活运用公式解决实际问题；对于实际问题中的量没有明显的呈现出等差或者等比数列的时候，如何通过先找到数列的递推关系，采用适当的代数转化，构造出一个新的等差或等比数列． 高二学生已经具备了一定的分析推理，逻辑思维能力．但学习习惯方面主动性不强，对多方面问题的联系能力尚不成熟，以被动接受学习为主，需要设置问题逐步引导，由浅入深，层层递进． 四、教学重点与难点 教学重点：等比数列的前n项和公式及其应用． 教学难点：将实际问题中没有明显规律的量通过构造转化为等差数列或等比数列． 五、教学策略分析 在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点． 在教学过程中，重视注重与实际的联系，利用学生的生活经验、其他学科的相关知识，创设丰富的情境，为学生提供脚手架． 六、学习活动设计 （一）知识回顾 师生活动：上节课我们学习了等比数列前n项和公式，请大家回想上节课所学知识回答下面两个问题： （1）等比数列的前n项和公式是怎样的？ （2）已知数列是等比数列，完成下面三个练习，并回忆上节课利用等比数列的前n项和公式解决了什么样的基本问题？ ①若，，求； ②若，，，求n； ③若，，求； 预设： ①当公比q为1时： ②当公比q不为1时： ·已知首项a1、公比