江西省南昌市第十中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

南昌十中 2022－2023 学年第一学期期中考试试题参考答案 高二数学 一、单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 C B A A A B A C 二、多选题 题号 9 10 11 12 选项 AC ABD CD CD 三、填空题 13、2 14、 35 2 15、260 16、①② 四、解答题 17、【详解】（1） 4 5 8 8 8 5 8 9 4A 2A 4 5 6 7 8 2 4 5 6 7 8 4 8 4 A A 8! 5 6 7 8 9 24 9 5                       ； ......5 分 （2）由组合数的定义知： 0 5 0 9 1 n n n n         *4 5,n n N    4n  或 5.n  当 4n  5 9 1 51 4 5C C 5; n n n n C C       当 5n  5 9 0 41 5 6C C 16. n n n n C C       ......10 分 18、【详解】（1）根据题意先把甲乙看成整体，与除了甲、乙、丙、丁之外的两人进行排列，再把丙丁插 空进行排列，所以共有 2 3 2 2 3 4A A A 144   . ......4 分 （2）先分为 4组，则按人数可分为 1，1，1，3 和 1，1，2，2两种分组方式，共有 1 1 1 1 1 2 2 6 5 4 6 5 4 3 2 2 3 2 2 3 3 2C C C C C C C C A A A         种； 再分到 4个项目，即可得共有 1 1 1 1 1 2 2 46 5 4 6 5 4 43 2 2 3 2 2 3 3 2C C C C C C C C A 1560 A A A               ； ......8 分 （3）先考虑全部，则共有 46A 种排列方式， 其中甲参加项目A共有 35A 种，同学乙参加项目D共有 3 5A 种； 甲参加项目A同时乙参加项目D共有 24A 种， 根据题意減去不满足题意的情况共有 4 3 2 6 5 4A 2A A 252   种. ......12 分 19.【详解】（1）圆心在直线 l上，则  , 1C x x  ，则有        2 2 2 22 2 1 1 1 2 1 2CA CB x x x x             ，解得 3x  ， 故圆心为  3, 2C  ，半径    2 23 1 2 1 5r       ，故圆心为 C的圆的标准方程为    2 23 2 25x y    ； ......5 分 （2）由圆的性质，过点 P的最长弦过圆心，即为直径， 10AC  . 最短弦 BD垂直于 AC，    2 21 3 1 2 13CP      ，由垂径定理得  222 5 13 4 3AC    ， 故四边形 ABCD的面积为 1 20 3 2 AC BD   . ......12分 20、【详解】（1）令 2 2 2 2 0 x y by x a b a      ，所以 1 b a  ， 又由题意可知双曲线的焦点  ,0c 到渐近线的距离 2 2 2 2 21 2 1 2 cd c a b a b         ， 所以双曲线的标准方程为： 2 2 1x y  ； ......5 分 （2）假设存在， 由题意知：该直线的斜率存在，设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，直线 l的斜率为 k， 则 1 2 2x x  ， 1 2 8y y  ， 又有 2 2 1 1 1x y  ， 2 2 2 2 1x y  ， 两式相减得 1 2 2 2 1 2 2 2 0yx x y   ，即      1 2 1 2 1 2 1 2y y y y x x x x    即         1 2 1 2 1 2 1 2 1 y y y y x x x x      ，所以 4 1k  ，解得 1 4 k  ， 所以直线 l的方程为 14 ( 1) 4 y x   ，即 4 15 0x y   ， 联立直线与双曲线方程 2 2 4 15 0 1 x y x y       得：    2 2 2 24