4.4 数学归纳法同步练习-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.4*　数学归纳法 一、必备知识基础练 1.[探究点一·2023福建福州检测]用数学归纳法证明“+…+>1”时,假设n=k时命题成立,则当n=k+1时,不等式的左边比当n=k时增加的项为(　　) A. B. C. D. 2.[探究点一]用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N*).从n=k(k∈N*)到n=k+1,若设f(k)=(k+1)(k+2)…(k+k),则f(k+1)=(　　) A.f(k)+[2(2k+1)] B.f(k)·[2(2k+1)] C.f(k)+ D.f(k)· 3.[探究点一](多选题)已知一个命题p(k),k=2n(n∈N*).若当n=1,2,…,1 000时,p(k)成立,且当n=1 001时也成立,则下列判断中正确的是(　　) A.p(k)对k=528成立 B.p(k)对每一个自然数k都成立 C.p(k)对每一个正偶数k都成立 D.p(k)对某些偶数可能不成立 4.[探究点一](多选题)对于不等式≤n+1(n∈N*),某学生的证明过程如下: ①当n=1时,≤1+1,不等式成立. ②假设n=k(k∈N*)时,不等式成立,即<k+1,则n=k+1时,< =(k+1)+1,所以当n=k+1时,不等式成立. 关于上述证明过程的说法正确的是(　　) A.证明过程全都正确 B.当n=1时的验证正确 C.归纳假设正确 D.从n=k到n=k+1的推理不正确 5.[探究点五·2023江西新余月考]用数学归纳法证明34n+2+52n+1(n∈N)能被14整除时,当n=k+1时,对于34(k+1)+2+52(k+1)+1应变形为　　　　　　　　　. 6.[探究点四]在数列{an}中,a1=,an+1=. (1)求出a2,a3并猜想{an}的通项公式; (2)用数学归纳法证明你的猜想. 7.[探究点三·人教B版教材例题]求证:当n是大于或等于5的正整数时,2n>n2. 8.[探究点二·北师大版教材习题]平面内有n(n≥2,n∈N*)条直线,其中任何两条都不平行,任何三条都不经过同一点,用数学归纳法证明:交点的个数f(n)=. 二、关键能力提升练 9.用数学归纳法证明不等式+…+(n∈N*)的过程中,由n=k递推到n=k+1时,不等式左边(　　) A.增加了 B.增加了 C.增加了 D.增加了 10.利用数学归纳法证明等式:1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+n·1=n(n+1)(n+2)(n∈N*),当n=k时,左边的和1·k+2·(k-1)+3·(k-2)+…+k·1,记作Sk,则当n=k+1时左边的和,记作Sk+1,则Sk+1-Sk=(　　) A.1+2+3+…+k B.1+2+3+…+(k-1) C.1+2+3+…+(k+1) D.1+2+3+…+(k-2) 11.(多选题)设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:当f(k)≥k+1成立时,总有f(k+1)≥k+2成立.则下列命题总成立的是(　　) A.若f(6)<7成立,则f(5)<6成立 B.若f(3)≥4成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k+1成立 C.若f(2)<3成立,则f(1)≥2成立 D.若f(4)≥5成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k+1成立 12.用数学归纳法证明“当n∈N*时,f(n)=5n+2×3n-1+1能被8整除”时,第二步“假设当n=k(k∈N*)时,f(k)=5k+2×3k-1+1能被8整除,证明当n=k+1时f(k+1)也能被8整除”的过程中,得到f(k+1)=5k+1+2×3(k+1)-1+1=f(k)+A,则A的表达式为　　　　　　　　.  13.是否存在a,b,c使等式+…+对一切n∈N*都成立?若不存在,说明理由;若存在,用数学归纳法证明你的结论. 14.[北师大版教材例题]用数学归纳法证明:(1+α)n≥1+nα(其中α>-1,n∈N*). 15.已知数列{fn(x)}满足f1(x)=(x>0),fn+1(x)=f1(fn(x)). (1)求f2(x),f3(x),并猜想{fn(x)}的通项公式; (2)用数学归纳法证明猜想. 16.观察下列不等式:5+3≥8,25+9≥32,125+27≥128,625+81≥512,…. (1)根据这些不等式,归纳出一个关于正整数n的命题; (2)用数学归纳法证明(1)中得到的命题. 参考答案 一、必备知识基础练 1.D　当n=k时,不等式的左边等于+…+,且k∈N*,当n=k+1时,不等式的左边等于+…+,当n=k+1时,不等式的左边比当n=k时增加的项为. 故选D. 2.B　由数学归纳法证明(n+1)·(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N*)时,从“k”到“k+1”的证明,左边需增