5.1.2 弧度制 -【教材解读】2023-2024学年高一数学上学期同步知识点精品讲义(人教A版2019必修第一册)

5.1.2 弧度制 目标导航 课程标准 课标解读 1． 了解弧度制，能进行弧度与角度的互 化； 2. 由圆周角找出弧度制与角度制的联系，记住常见特殊角对应的弧度数． 3. 可以从六十进制与十进制区别角度制与弧度制； 4. 掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式，能用公式进行简单的弧长及面积运算． 通过本节课的学习，要求掌握弧度制与角度制的互化，记住特殊角的弧度制，掌握与弧度制相关的弧长公式和面积公式的运用，为后面学习三角函数的相关内容奠定基础. 自主预习 知识点一 度量角的单位制 (1)角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的. (2)弧度制 ①弧度制的定义 长度等于 的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．2 ②任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是一个 ；负角的弧度数是一个 ；零角的弧度数是 ③角的弧度数的计算 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝.知识点二 角度制与弧度制的换算 (1) 角度化弧度 弧度化角度 360°＝ rad 2π rad＝ 180°＝ rad π rad＝ 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝≈57.30° (2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 弧度 0 度 120° 135° 150° 270° 360° 弧度 π π 2π 知识点二 扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 度量单位类别 α为角度制 α为弧度制 扇形的弧长 l＝ l＝ 扇形的面积 S＝ S＝l·R＝α·R2 知识分类夯实 一、弧度制 1、角度制：规定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. 2、弧度制的定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度，这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. 3、弧度制与角度制的区别与联系 区别 （1）单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位； （2）定义不同. 联系 不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值. 二、角度制与弧度制之间的互化 1、角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 2、一些特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 3、角的集合与实数集R的关系 角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系， 如图,每个角都是唯一的实数（等于这个角的弧度数）与它对应； 反之，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的交)与之对应。 四、弧长与扇形面积公式 设扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下： 类别/度量单位 角度制 弧度制 扇形的弧长 扇形的面积 大招秘籍 大招1 弧度的定义 弧长等于半径时，所对的圆心角为弧度的圆心角，记作. 即:半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为，那么.推导过程 (1) 如下图，设，，圆弧的长为，，圆弧的长为. 由初中所学的弧长公式，可得. 同理，则，即圆心角所对的弧长与半径的比值，只与的大小有关. (2) ，其中的正负由角的终边旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负. 角度与弧度的转化 大招2 (1) ，. (2) 特殊角的角度与弧度对应表 角度 弧度 注 在弧度制下，角的集合与实数集之间建立一一对应关系；以后弧度制单位可省略不写. 弧长与扇形面积计算公式 大招3 弧长； 扇形面积， 其中是圆的半