专题25 抛物线的几何性质5种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教B版2019选择性必修第一册)

专题25 抛物线的几何性质5种常见考法归类 1．抛物线的几何性质 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) 图形 性质 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 对称轴 x轴 y轴 顶点 (0,0) 离心率 e＝1 注：（1）抛物线x2＝2py(p＞0)有一条对称轴. （2）抛物线的方程不同，其范围就不一样，如y2＝2px(p＞0)的范围是x≥0，y∈R，故此说法错误． （3）参数p(p＞0)对抛物线开口大小有影响，因为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦的长度是2p，所以p越大，开口越大． 2．焦点弦 设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y2＝2px(p＞0) |AB|＝x1＋x2＋p y2＝－2px(p＞0) |AB|＝p－(x1＋x2) x2＝2py(p＞0) |AB|＝y1＋y2＋p x2＝－2py(p＞0) |AB|＝p－(y1＋y2) 3.用待定系数法求抛物线方程的步骤 提醒：求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置．不同的焦点设出不同的方程． 4.利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题． (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题． (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题． (4)焦点：解决焦点弦问题． 5.以抛物线y2＝2px(p＞0)为例， ①|AB|＝2(焦点弦长与中点关系)． ②|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)． ③A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝，y1·y2＝－p2． ④S△AOB＝． ⑤＋＝(定值)． ⑥以AB为直径的圆与直线l相切. 如图，AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l． 所以以AB为直径的圆必与准线l相切． ⑦解决焦点弦问题需注意点 要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 由抛物线的几何性质求标准方程 考点二 抛物线性质的应用 考点三 焦点弦问题 考点四 直线与抛物线的位置关系 考点五 弦长和中点弦问题 考点一 由抛物线的几何性质求标准方程 1．（2023上·内蒙古鄂尔多斯·高二统考期末）已知抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用抛物线准线方程得到，从而求得其标准方程，由此得解. 【详解】因为抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为，设抛抛物线的标准方程为， 所以，得，故所求抛物线的标准方程为. 故选：A. 2．（2023上·江西景德镇·高二江西省乐平中学校考期中）以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为 【答案】和． 【分析】先求出直线与坐标轴的交点坐标，再得到抛物线方程. 【详解】直线与坐标轴的交点，， 故以和为焦点的抛物线标准方程分别为和． 故答案为：和 3．（2023·全国·高三专题练习）若点A，B在抛物线上，O是坐标原点，正三角形OAB的面积为，则该抛物线的方程是 ． 【答案】 【分析】根据对称性可知轴，所以根据正三角形OAB的面积为，可以得到AB长，以及三角形OAB的高，进一步得到点A的坐标，将A点坐标代入抛物线方程解得p，即可得到抛物线的方程. 【详解】根据对称性，可知轴， 由于正三角形OAB的面积是，故， 故，正的高为， 故可设点A的坐标为，代入抛物线方程得，解得， 故所求抛物线的方程为． 故答案为： 4．（2023上·河南南阳·高二社旗县第一高级中学校联考期中）已知直线l：与抛物线C：交于A，B两点，且，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出和两点的坐标，把与联立得到，经过点的焦点，进而根据的长度求出. 【详解】设，，把l与C的方程联立， 得，消去y并整理，得， 则，，又l经过C的焦点， ∴，∴， ∴C的方程为. 故选：C. 5．（2023上·江苏常州·高二统考期中）已知抛物线过点，焦点为. (1)求抛物线的方程； (2)求过点的抛物线的切线方程； (3)从点发出的光线经过点被抛物线反射，求反射光线所在的直线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设抛物线方程，代入，求出，即得抛物线的方程. （2）设切线方程，直线