第5.3讲 诱导公式-2023-2024学年新高一数学同步精讲精练宝典（人教A版2019必修第一册）

第五章 三角函数 第5.3讲 诱导公式 一、学习目标 1.了解三角函数诱导公式的意义和作用，理解诱导公式的推导过程，重点培养直观想象、数学抽象核心素养．　 2.能运用诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题，重点提升数学运算、逻辑推理核心素养． 二、重点难点 1、利用诱导公式求值问题 2、利用诱导公式化简、证明 3、诱导公式的综合应用 三、核心知识 　角α与α＋2kπ(k∈Z)的三角函数值之间的关系 已知角β＝2kπ＋α，k∈Z. (1)角α与β的终边有什么关系？ (2)作出β的三角函数线，通过作图，你会发现α，β的三角函数值有何关系？ 提示：(1)终边相同． (2)(作图略)．sin β＝sin α，cos β＝cos α，tan β＝tan α. 1．诱导公式① sin(α＋k·2π)＝sin_α，cos(α＋k·2π)＝cos_α，tan(α＋k·2π)＝tan_α． 2．诱导公式①的作用：可以把绝对值大于2π的任意角的三角函数值问题转化为0～2π角的同名三角函数值问题． 　角的旋转、对称 如图，已知角α的终边为OA，将射线OA逆时针旋转θ到OB，顺时针旋转θ到OC； 那么①指出角α＋θ的终边，②指出角α－θ的终边．③角α＋θ的终边与角α－θ的终边有怎样的对称关系． 提示：①射线OB　②射线OC　③关于直线OA对称 一般地，角α的终边和角β的终边关于角的终边所在的直线对称． 　角α与角－α的三角函数值之间的关系 1．角α与角－α的终边有怎样的对称关系？ 提示：关于x轴对称． 2．结合三角函数线，角α与角－α的三角函数值之间的关系如何？ 提示：(作图略)利用三角函数线和两角的对称关系得sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α. 1．诱导公式②：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，tan(－α)＝－tan_α． 2．诱导公式②的作用：用正角的三角函数值表示负角的三角函数值． 　角α与π±α的三角函数值之间的关系 1．任意角α与π－α的终边有何位置关系？它们与单位圆的交点的位置关系怎样？试用三角函数定义验证α与π－α的各三角函数值的关系． 提示：α与π－α的终边关于y轴对称，如图所示，设P1(x，y)是α的终边与单位圆的交点，则π－α与单位圆的交点为P2(－x，y)，P1，P2关于y轴对称，由三角函数定义知，sin(π－α)＝y＝sin α，cos(π－α)＝－x＝－cos α，tan(π－α)＝＝－tan α. 2．你能利用诱导公式②③探究角α与π＋α的各三角函数值的关系吗？ 提示：如cos(π＋α)＝cos[π－(－α)]＝－cos(－α)＝－cos α. 1．诱导公式③：sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α，tan(π－α)＝－tan_α． 2．诱导公式④：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan_α． [点拨] 诱导公式的记忆 诱导公式①～④的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角． 知识点四 　角α与－α的三角函数值之间的关系 如图所示，设α是任意角，其终边与单位圆交于点P1(x，y)，与角α的终边关于直线y＝x对称的角的终边与单位圆交于点P2. (1)P2点的坐标是什么？ 提示：P2(y，x)． (2)－α的终边与角α的终边关于直线y＝x对称吗？它们的正弦、余弦值有何关系？ 提示：对称．sin＝cos α，cos＝sin α. 诱导公式⑤ sin＝cos_α，cos＝sin_α． 知识点五 角α与＋α，±α的三角函数值之间的关系 1．利用诱导公式②⑤探究α与＋α的三角函数值的关系？ 提示：如cos＝cos＝－cos＝－sin α. 2．利用前面学习的诱导公式，你能发现＋α与α、－α与α间的三角函数值的关系吗？ 提示：如sin＝sin＝－sin(－α)＝－cos α， cos＝cos＝cos＝－sin α. 诱导公式⑥⑦⑧ ⑥sin＝cos_α，cos＝－sin_α． ⑦cos＝sin_α，sin＝－cos_α． ⑧cos＝－sin_α，sin＝－cos_α． [点拨] 诱导公式①～⑧可以统一概括为“k·±α，(k∈Z)”的形式 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇、偶”是指k·±α(k∈Z)中k的奇偶性，当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变．“符号”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α函数值的符号． 三、核心例题 题型1、利用诱导公式求值问题 1．已知角终边上一点，则