圆锥曲线的方程知识梳理-2024届高三数学一轮复习

圆锥曲线的方程知识梳理 1. 椭圆的定义 我们把平面内与两个定点的距离 等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 ． 定义几何式： |MF1|＋|MF2|＝2a； 代数式：，。 一般地集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}， | F1F2|=2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数： ①若a>c，则集合P为 ；②若a=c，则集合P为 ； ③若a<c，则集合P为 。 2.双曲线的定义 （1）平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫双曲线的焦距. 此定义为双曲线的第一定义. 其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0： ①若a<c，则集合P为 ；②若a＝c，则集合P为 ； ③若a>c，则集合P为 ；④若2a =0 ,则集合P为 。 （2）第二定义：平面内，到定点的距离与到定直线的距离比为定值的点的轨迹，当时为 ，当时为 ，当时为 ，其中定点称为焦点，定直线为准线，定值称为的离心率. 3．椭圆、双曲线的标准方程和几何性质 椭圆a>b>0 双曲线a>0，b>0 标准方程 图 形 焦点坐标 及判断 对称性 范围　 顶点坐标 长轴短轴 实轴虚轴 通径 渐近线 无 离心率、范围及作用 a,b,c的关系 说明：椭圆双曲线的方程可化为一个统一的形式，即Ax2+By2=1（各自限制条件不一）。 ①在椭圆中a和b分别叫椭圆的长半轴长和短半轴长；在双曲线中a和b分别叫双曲线的 和 ； ②在椭圆中e越接近１，则c越接近a，从而越小，因此椭圆越 ；反之，e越接近于0，c越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆就接近于 ；当且仅当a=b时，c=0，这时两焦点重合，图形变为圆． ③在双曲线中x2与y2的系数符号，决定焦点所在的坐标轴，x2,y2哪个系数为正，焦点就在哪个轴上，而椭圆的焦点所在位置与分母的大小有关,所以由方程定焦点：椭圆看大小，双曲线看符号。 4.与渐近线有关的常用结论 ①与双曲线具有相同渐近线的双曲线方程可以设为。 ②渐近线为的双曲线方程可以设为。 ( a b c )渐近线方程为bx±ay=0的双曲线可设为b2x2-a2y2=λ(λ≠0)。 渐近线为的双曲线方程可以设为； ③双曲线的焦点到渐近线的距离为（虚半轴长）。 ④等轴双曲线：实轴与虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线， 等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于。 5．抛物线的定义与几何性质 抛 物 线 定义 平面内到定点F与定直线（F点在直线外）___________的点的轨迹 注： 若F在直线上，则轨迹为_____________ 离心率 图象 P P叫做________,P_____0,P越大，抛物线的开口越______ 标准 方程 根据___________判断焦点的位置 对称轴 范围 焦点 准线方程 焦半径 焦点弦 6.求轨迹方程的常用方法： ⑴直接法：直接通过建立、之间的关系，构成,是求轨迹的最基本的方法.（建设限代化） ⑵待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可. ⑶代入法(相关点法或转移法). ⑷定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程. ⑸交轨法(参数法)：当动点坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑 将、均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程. 7．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线与圆锥曲线的位置关系时，通常将直线的方程不同时为代入圆锥曲线的方程，消去(也可以消去)得到一个关于变量(或)的一元方程， 即消去后，得， (1)当时，则有，直线与曲线 ；，直线与曲线