15.1 分式的概念和性质（讲+练）11大题型-【重要笔记】2023-2024学年八年级数学上册重要考点精讲精练（人教版）

15.1 分式的概念和性质 分式的概念 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 注意：（1）区别：分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母. （2）联系：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况. （3）但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如是整式而不能当作分式. （4）是分式，与有区别，是整式，即只看形式，不能看化简的结果. 题型1：分式的概念 1.下列各式中，是分式的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】下列各式中：，分式的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】下列各式：，，，，，，中，是分式的共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 分式有意义，无意义或等于零的条件 1.分式有意义的条件：分母不等于零. 2.分式无意义的条件：分母等于零. 3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零. 注意：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零. （2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零. （3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值. 题型2：分式有意义、无意义的条件 2.使分式有意义的x的取值范围是(　　) A．x≥ B．x≤ C．x＞ D．x≠ 【变式2-1】下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】若分式无意义，则x的值为（    ） A．2 B． C． D．0 题型3：分式值为0的条件 3.使分式 等于0的x的值是（　　） A．1 B． C． D．不存在 【变式3-1】若分式的值为0，则的值为（    ） A．8 B． C．8或 D．4 若分式的值为0，则a的值为__________． 【变式3-2】若时，分式的值为0，则可能是（    ） A．3 B． C． D． 若分式的值为0，则m的值为 ． 分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 注意：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件. （2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了. 题型4：分式的基本性质 4.下列等式中，正确的是（　 　） A． B． C． D． 【变式4-1】若分式中a和b都扩大到原来的4倍，则分式的值（    ） A．缩小到原来的倍 B．扩大到原来的4倍 C．扩大到原来的16倍 D．不变 【变式4-2】将分式中、的值均扩大为原来的2倍，则分式的值 ． 分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 注意：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用. 注意：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式. （2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分. 题型5：约分及最简分式 5.①分式 可化简为（　　） A． B． C． D． ②下列分式①②③④⑤ 中，最简分式有　 　（填正确答案的序号）． 【变式5-1】约分 ． 约分：． 【变式5-2】当时， ． 化简得 ，当时，原式的值为 ． 分式的通分 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.