4.2 等差数列 (题型精讲精练）-【题型分类精粹】2023-2024学年高二数学上学期期中期末复习讲练系列【考点闯关】（人教A版2019）

4.2 等差数列 1.理解等差数列的定义.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.掌握等差中项的概念. 2.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.能运用等差数列的性质解决有关问题. 3.掌握等差数列前n项和公式及求取思路，熟练掌握等差数列的五个量之间的关系并能由三求二，能用通项与和求通项. 4.会利用等差数列性质简化求和运算，会利用等差数列前n项和的函数特征求最值. 能处理与等差数列相关的综合问题. 课标解读 通过本节课的学习，要求能应用等差数列的定义判断等差数列，会应用等差数列的通项公式进行基本量的求解，能应用等差数列的性质解决与等差数列相关的问题. 通过本节课的学习，要求能掌握等差数列的通项与前n项和的相关计算公式，能熟练处理与等差数列的相关量之间的关系，用函数的思想解决数列的最大（小）项、和的最大（小）值问题，会利用等差数列的性质灵活解决与之相关的问题. 14.2 等差数列 1 一、主干知识 2 考点1：等差数列的有关概念 2 考点2：等差数列的四种判断方法 3 考点3：等差数列的性质： 3 考点4：等差数列的前n项和公式： 4 二、分类题型 5 题型一 等差数列的概念 5 命题点1　判断等差数列 5 命题点2　利用定义求等差数列的通项公式 11 命题点3　验证是否为等差数列中的项 14 命题点4　等差数列通项公式的基本量计算 17 命题点5　由递推公式证明数列是等差数列 21 命题点6　等差中项及其应用 30 命题点7　利用等差数列的性质计算 33 命题点8　等差数列的应用 44 命题点9　等差数列的单调性及其最值 48 命题点10　利用等差数列通项公式求数列中的项 52 题型二 等差数列前n项和公式 61 命题点1　求等差数列前n项和 61 命题点2　等差数列前n项和的基本量计算 65 命题点3　含绝对值的等差数列前n项和 69 命题点4　由前n项和判断数列是否为等差数列 73 命题点5　由求通项公式 79 命题点6　等差数列片段和的性质及其应用 87 命题点7　等差数列的前n项的性质 89 命题点8　等差数列前n项和的二次函数性质 93 命题点9　等差数列的简单应用 98 命题点10　等差数列奇数项或偶数项的和 102 三、分层训练：课堂知识巩固 114 一、主干知识 考点1：等差数列的有关概念 1.等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或. 2.等差数列的通项公式：；. 说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列. 3.等差中项的概念： 定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中 . ，，成等差数列. 【微点拨】1.等差数列的前和的求和公式：. 2.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列． 注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别． 考点2：等差数列的四种判断方法 (1)定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列； (2)等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列; (3)通项公式：(为常数,)⇔ 是等差数列; (4)前项和公式：(为常数, )⇔ 是等差数列; (5)是等差数列⇔是等差数列. 考点3：等差数列的性质： 1.等差数列的性质： （1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；[来源:学+科+网] （2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：，，，，……；，，，，……； （3）在等差数列中，对任意，，，； （4）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等差中项. （5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列. （6）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列． （7）若数列是等差数列,则仍为等差数列． 2．设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①； ② ；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①(中间项)；②. 3.,则,. 4.如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数． 5.若与为等差数列，且前项和分别为与，则. 考点4：等差数列的前n项和公式： 1.等差数列的前n项和公式：若已知首项和末项，则，或等差数列{an}的首项是， 公差是，则其前项和公式为. 2.相关性质： （1）设数列是等差数列，且公差为， （Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①； ② ； （Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①(中间项)；②. （2）,则,.