4.2.1等差数列的概念讲义（第一课时）-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

高碑店市新城紫泉中学高中部高二数学DXA 鸟欲高飞先振翅，人求上进先读书。 4.2.1等差数列的概念（第一课时） 书读百遍 要点1 等差数列 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的 ，公差通常用字母表示. 要点2 等差中项 由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，叫做与的 ，且 . 要点3 等差数列的通项公式 （1） 等差数列的通项公式： . 变形：. （2） 通项公式的推广：，变形： 要点4 等差数列与一次函数 （1） 由于所以当时，等差数列的第项是一次函数当时的函数值，即. 如图，在平面直角坐标系中画出函数 就得到一条斜率为，在轴上的截距为的 直线，在这条直线上描出点，， ，...，，...，就得到了等差数列 的图象.事实上，公差的等差数列 的图象是点组成的集合，这些点均匀的 分布在直线上. （2）由等差数列和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差的影响. ①当时，数列为递增数列，图象如图①所示； ②当时，数列为递减数列，图象如图②所示； ③当时，数列为常数列，图象如图③所示； 入木三分 1.将有穷等差数列的所有项倒序排列，所成数列仍是等差数列吗？如果是，公差是什么？如果不是，请说明理由. 2.等差数列的通项公式是由等差数列的前几项归纳得出的，公式只是一个猜想，不算是证明，那么，如何证明？ 3.已知数列的首项和公差，能表示出通项公式，如果已知第项和公差，又如何表示通项公式？ 题型一 等差数列的概念 例1 我们先看下面几组数列 （1）...； （2）...； （3）...； （4）... 观察上述数列，我们发现这几组数列的共同特点是 归纳：等差数列的定义给出了等差数列的递推关系： 练习：判断下列数列是否为等差数列. （1） （2） （3）； （4）. 题型二 等差中项 例2 在与之间顺次插入三个数使这五个数成等差数列，求此数列. 归纳：由定义可知在等差数列中，从第二项起，每一项都是前一项与后一项的等差中项，即当且时， 练习： （1） 若则的等差中项为 . （2） 若成等差数列，则的值等于 . 题型三 等差数列的通项公式 例3 已知数列为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式. （1）； （2）前三项为：； 归纳：要想求出等差数列的通项公式，那么和就是必须求出的量，我们称之为基本量，在解题中，要时刻把握这两个量，它们常常是我们解题的基础. 练习：已知等差数列. （1） 若则 ；（2）若则 ； （2） 若则 ；（4）若则 ； 题型四 等差数列与一次函数的关系 例4 下面是关于公差的等差数列的四个结论：①数列是递增数列；②数列是递增数列；③数列是递增数列；④数列是递增数列.其中正确的是 . 归纳：公差是一次项系数，它的符号决定了数列的单调性. 练习： （1） 等差数列...中的第一个负数项是第 项. （2） 在数列中，已知则 . 学科网（北京）股份有限公司 $$