4.5.3 函数模型的应用（4大题型）精讲-【题型分类归纳】2023-2024学年高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第一册）

4.5.3 函数模型的应用 重点：1、利用已知函数模型求解实际问题；2、能根据实际需求构建函数模型； 难点：1、准确理解题意，理清变量间的关系；2、建立函数模型。 一、几种常见的函数模型 1、一次函数模型：（，为常数，） 2、二次函数模型：（为常数，） 3、指数函数模型：（为常数，，且） 4、对数函数模型：（为常数，，且） 5、幂函数模型：（为常数，） 6、分段函数模型： 二、用函数模型解应用问题的四个步骤 1、审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； 2、建模：将自然语言化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型； 3、求模：求解数学模型，得出数学模型； 4、还原：将数学结论还原为实际问题。 三、函数拟合与预测的一般步骤 1、通过原始数据、表格，绘出散点图； 2、通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线； 3、求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式； 4、根据拟合误差要求判断，选择最佳的拟合函数； 5、利用选取的拟合函数进行预测； 6、利用函数关系式，根据条件所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据。 题型一 指数函数模型的应用 【例1】（2023上·陕西西安·高一高新一中校考期中）如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系（a，b为常数），若该果蔬在6℃的保鲜时间为216小时，在24℃的保鲜时间为8小时，那么在12℃时，该果蔬的保鲜时间为（ ） A．16小时 B．24小时 C．36小时 D．72小时 【变式1-1】（2023上·河南南阳·高一统考期末）Logistic模型是常用数学模型之一，可用于流行病学领域．有学者根据所公布的数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例（的单位：天）的Logistic模型：，其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ） A．35 B．36 C．40 D．60 【变式1-2】（2023上·高一课时练习）有关数据显示中国快递行业产生的包装垃圾在2020年约为400万吨，2021年的年增长率为50%.有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从 年开始，快递行业产生的包装垃圾超过万吨．(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1). 【变式1-3】（2023下·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期中）塑料袋给我们生活带来了方便，但塑料在自然界可停留长达年之久，给环境带来了很大的危害，国家发改委､生态环境部等9部门联合印发《关于扎实推进塑料污染治理工作的通知》明确指出，2021年1月1日起，将禁用不可降解的塑料袋､塑料餐具及一次性塑料吸管等.某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为为初始量，为光解系数（与光照强度､湿度及氧气浓度有关），为塑料分子聚态结构系数，已知分子聚态结构系数是光解系数的90倍.（参考数据：） （1）塑料自然降解，残留量为初始量的，大约需要多久？ （2）为了缩短降解时间，该塑料改进工艺，改变了塑料分子聚态结构，其他条件不变，已知2年就可降解初始量的，则残留量不足初始量的，至少需要多久？（精确到年） 题型二 对数函数模型的应用 【例2】（2023下·北京密云·高二统考期末）单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度满足公式：.其中，分别为火箭结构质量和推进剂的质量.是发动机的喷气速度.已知某单级火箭结构质量是推进剂质量的2倍，火箭的最大速度为.则火箭发动机的喷气速度约为（ ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023下·广西河池·高二校联考阶段练习）燕子每年秋天都要从北方飞到南方去过冬，研究燕子的科学家发现，成年燕子的飞行速度（单位：）可以表示为函数，其中表示燕子的耗氧量．当一只成年燕子的飞行速度时，它的耗氧量为（ ） A．30 B．60 C．40 D．80 【变式2-2】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）陕西榆林神木石峁遗址发现于1976，经过数十年的发掘研究，已证实是中国已发现的龙山晚期到夏早期规模最大的城址，出土了大量玉器、陶器、壁画、房屋、城池、人体骨骼等遗迹，2019年科技人员对遗迹中发现的某具人娄骨骼化石进行碳14测定年代，公式为：（其中为样本距今年代，为现代活体中碳14放射性丰度，为测定样本中碳14放射性丰度），已知现代活体中碳14放射性丰度，该人类骨骼碳14放射性丰度，则该骨骼化石距今的年份大约为（