3.2.2双曲线的简单几何性质课件（第3课时）-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第 3 章圆锥曲线的方程 3.2.2 双曲线的简单几何性质 焦点位置 x轴 y轴 方程 图形 范围 对称性 顶点 渐近线 离心率 x F1 F2 y O M(x,y) x y O M(x,y) F1 F2 复习 • p • p 练习1.已知双曲线C：x2-=1和点P(1,2)，判断它们两者之间的关系？ 1.相离: 2.相切: 3.相交: 直线与椭圆组成的方程组无解 直线与椭圆组成的方程组只有一组解 直线与椭圆组成的方程组有两组解 当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交； 当Δ=0时，方程有一解，直线与椭圆相切； 当Δ<0时，方程无解 ，直线与椭圆相离． 复习. Δ>0 ⇔ 相交，两个交点 Δ=0 ⇔ 相切，一个交点 Δ<0 ⇔ 相离，无交点 (b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0 相交 相交 相切 相离 两个交点 一个交点 一个交点 无交点 △＞0 △=0 △＜0 同侧: x1x2＞0 异侧: x1x2＜0 例1 已知双曲线C：x2-y2=4，直线l：y=kx-1. (1)若直线l与双曲线C有2个公共点，求k的取值范围； (2)若直线l与双曲线C只有1个公共点，求k的取值范围； (3)若直线l与双曲线C的右支有2个公共点，求k的取值范围. 例1 已知双曲线C：x2-y2=4，直线l：y=kx-1. (1)若直线l与双曲线C有2个公共点，求k的取值范围； 解：联立直线与双曲线的方程 消去y，得 因为直线与双曲线有两个公共点， 所以解得 所以 例1 已知双曲线C：x2-y2=4，直线l：y=kx-1. (2)若直线l与双曲线C只有1个公共点，求k的取值范围； 解： 消去y，得 当1-k2≠0即k≠±1时，若直线与双曲线只有一个公共点 则 即 当1-k2=0即k=±1时，方程只有一个解， 即直线与双曲线只有一个公共点； 综上， 例1 已知双曲线C：x2-y2=4，直线l：y=kx-1. (3)若直线l与双曲线C的右支有2个公共点，求k的取值范围. 解： 消去y，得 因为直线l与双曲线C的右支有2个公共点， 所以 解得 练习2 直线l：y=kx-1与双曲线C：x2-y2=1的左支有两个公共点，则k的取值范围( ) A. (,0) B.(,) C.(,1) D.1) C 解： 整理得 根据题意 解得 例2 F2 O x y A B F1 • • • • 例2 F2 O x y A B F1 • • • • 练习3.已知直线y=4x-6与双曲线 相交于A,B两点，求线段AB的长度. 解：联立直线与双曲线的方程 消去y，得 所以 所以 例3.已知双曲线－y2＝1，求过点A (3，－1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程． 解： 法一：由题意知直线的斜率存在， 故可设直线方程为y＋1＝k(x－3)，即y＝kx－3k－1，联立双曲线 消去y，整理得(1－4k2)x2＋8k(3k＋1)x－36k2－24k－8＝0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴x1＋x2＝. ∵A(3，－1)为MN的中点，∴＝3，即＝6，解得k＝－. ∴所求直线MN的方程为y＝－x＋，即3x＋4y－5＝0. 例3.已知双曲线－y2＝1，求过点A (3，－1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程． 法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∵M，N均在双曲线上， ∴－y12＝1,－y22＝1 , 两式相减得＝.∵点A平分弦MN， ∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2. ∴kMN＝＝－. ∴所求直线MN的方程为y＋1＝－(x－3)，即3x＋4y－5＝0. 直线与双曲线相交所得弦长的两种求法 方法一：利用距离公式． 求出直线和双曲线的两个交点坐标，利用两点间距离公式求弦长． 方法二：利用弦长公式． 设斜率为k(k≠0)的直线l与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝eq \r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2) ＝eq \r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2| ＝eq \r(1＋\f(1,k2))·eq \r(（y1＋y2）2－4y1y2). 解：设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x12,a2)－\f(y12,b2)＝1，,\f(x22,a2)－\f(y22,b2)＝1，))两式作差， 得eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(b2（x1＋x2）,a2（y1＋y2）)＝eq \f(－12b2,－15a2)＝eq \f(4