专题19 圆的基本性质（讲+练，11大知识点）-【划重点】2023-2024学年九年级数学下册同步讲与练（沪科版）

专题19 圆的基本性质 ★知识点1：圆的基础概念 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形 成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。 确定圆的条件：1）圆心；2）半径。 备注：圆心确定圆的位置，半径长度确定圆的大小。 【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 3）半径相等的圆叫做等圆。 圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； 2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 典例分析 【例1】（2023秋·江苏·九年级专题练习）下列命题中，正确的个数是（　 ） （1）直径是弦，但弦不一定是直径； （2）半圆是弧，但弧不一定是半圆； （3）半径相等且圆心不同的两个圆是等圆； （4）一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（2023秋·浙江·九年级专题练习）、是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【即学即练】 1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，图中⊙O的弦共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．（2021秋·甘肃定西·九年级校联考阶段练习）在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为6，最小距离为4，则此圆的半径为（    ） A．2 B．5 C．1 D．5或1 ★知识点2：弦、弧、弦心距 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。 直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。 备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。 等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。 典例分析 【例1】（2021秋·广东江门·九年级校考阶段练习）如图，点A，B，C，D，E均在上，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【例2】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，是的直径，、是的两条弦，交于点G，点C是的中点，点B是的中点，若，，则的长为（   ）    A．3 B．4 C．6 D．8 即学即练 1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，的顶点A、B、C均在上，点A是中点，则下列结论正确的是（　　）    A． B． C． D． 2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，则度数是（　　） A． B． C． D． ★知识点3：垂径定理求值 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法（考点）： （1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； （2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分。 典例分析 【例1】（2023春·辽宁鞍山·九年级统考阶段练习）如图，的半径垂直于弦，垂足为点，连接并延长交于点，连接，．若，，则的面积为（    ）    A．12 B．15 C．16 D．18 【例2】．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，，点C是的中点，，且，则这段弯路所在圆的半径为（    ）    A． B．20m C．30m D． 即学即练 1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，圆的半径垂直弦于点，连接并延长交圆于点，连接．若，，则长为(　　) A． B． C． D． 2．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，是的直径，弦于点E，若，，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 ★知识点4 垂径定理求平行弦问题 典例分析 【例1】．（2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）半径为5，弦，，，则与间的距离为（    ） A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 【例2】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点，，，在圆上，弦和交于点，则下列说法正确的是（ ） A．若平分，则 B．若，则平分 C．若垂直平分，则圆心在上 D．若圆心在上，则垂直平分 即学即练 1．（2021秋·全