专题23 双曲线的几何性质7种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教B版2019选择性必修第一册)

专题23 双曲线的几何性质7种常见考法归类 1．双曲线的几何性质 标准方程 －＝1 (a＞0，b＞0) －＝1 (a＞0，b＞0) 性质 图形 焦点 (－c,0)，(c,0) (0，－c)，(0，c) 焦距 2c 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；半实轴长：a，半虚轴长：b 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x 注：（1）用a，b表示双曲线的离心率e＝＝＝． （2）离心率对双曲线开口大小有影响有影响，因为e＝＝＝，故当的值越大，渐近线y＝x的斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大． 2．等轴双曲线 实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x，离心率e＝． 3.由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 1把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键. 2由标准方程确定焦点位置，确定a、b的值. 3由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质. 4.求双曲线的标准方程的方法与技巧 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． (2)利用渐近线与双曲线的位置关系，设有公共渐近线的双曲线方程－＝λ(λ≠0)，这样可避免分类讨论，从而减少运算量，提高解题速度与准确性． 拓展延伸：巧设双曲线的六种方法与技巧 (1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0)． (2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0)． (3)与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2＜λ＜a2)． (4)与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)． (5)渐近线为y＝kx的双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0)． (6)渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)． 5.求离心率的方法与技巧 (1)求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出a，c，再计算e＝；二是依据条件建立参数a，b，c的关系式，一种方法是消去b转化成离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含的方程，求出后利用e＝求离心率． (2)求离心率的范围一般是根据条件建立a，b，c的不等式，通过解不等式得或的范围，再求得离心率的范围． 6.与渐近线有关的问题 （1）双曲线－＝1的渐近线为y＝±x，双曲线－＝1的渐近线为y＝±x，两者容易记混，可将双曲线方程中的“1”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程． （2）若已知渐近线方程为mx±ny＝0，求双曲线方程，双曲线的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，可用下面的方法来解决． 方法一：分两种情况设出方程进行讨论． 方法二：依据渐近线方程，设出双曲线方程m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)，求出λ即可． 显然方法二较好，避免了讨论． （3）有共同渐近线的双曲线的方程． 与双曲线－＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．若λ＞0，则实轴在x轴上；若λ＜0，则实轴在y轴上，再依据题设条件可确定λ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 由双曲线的标准方程求其简单的几何性质 考点二 由双曲线的几何性质确定标准方程 考点三 点和双曲线位置关系 考点四 与双曲线有关的离心率问题 考点五 与渐进线有关的问题 考点六 直线与双曲线的位置关系 考点七 弦长和中点弦问题 考点一 由双曲线的标准方程求其简单的几何性质 1．【多选】（2023上·浙江金华·高二浙江师范大学附属中学校考阶段练习）已知双曲线的方程：，下列说法正确的是（    ） A．实轴长为6 B．焦距为 C．渐近线方程为 D．离心率为 2．【多选】（2023上·浙江金华·高二浙江金华第一中学校考期中）已知双曲线，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的焦距为4 C．双曲线的虚轴长为1 D．双曲线的渐近线方程为 3．【多选】（2023上·江苏盐城·高二盐城市田家炳中学校联考期中）设分别是双曲线的左、右焦点，且，则下列结论正确的有（    ） A． B．存在实数t，使直线与双曲线左右两支各有一个交点 C．双曲线C的实轴长是 D．双曲线C的离心率是 4．（2023上·河北·高二校联考期