3.3.2 抛物线的简单几何性质（第3课时 直线与抛物线）-2023-2024学年高二数学教材配套教学精品课件（人教A版2019选择性必修第一册)

3.3.2 抛物线的简单几何性质 第 三 章 圆锥曲线的方程 人教A版2019选修第一册 第3课时 直线与抛物线 学习目标 1.掌握抛物线的几何性质及其简单应用． 2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题． 3. 掌握抛物线中的定值与定点问题． 01情景导入 PART ONE 复习导入 方程 图形 范围 对称性 顶点 焦半径 焦点弦 通径 y2 = 2px y2 = -2px x2 = 2py x2 = -2py l F y x O l F y x O l F y x O x≥0, y∈R x≤0, y∈R x∈R, y≥0 x∈R, y≤0 l F y x O 关于x轴对称 关于y轴对称 (0,0) 抛物线的简单几何性质 直线与圆锥曲线的有关综合问题,我们已经接触了一些,在我们看来就是三句话的实践: (一)设而不求; (二)联立方程组,根与系数的关系; (三)大胆计算分析,数形结合活思维. 这一节我们来做几个关于直线与抛物线的问题…… 复习导入 02直线与抛物线 PART ONE 直线与抛物线 一、直线与抛物线位置关系种类 x y O 1、相离；2、相切；3、相交（一个交点，两个交点） 直线与抛物线 设直线l:y=kx+m,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0. (1)若k≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个切点; 当Δ<0时,直线与抛物线相离,没有公共点. (2)若k=0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 二、直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线 三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序（一） 把直线方程代入抛物线方程 得到一元一次方程 得到一元二次方程 直线与抛物线的 对称轴平行（重合） 相交（一个交点） 计 算 判 别 式 >0 =0 <0 相交 相切 相离 直线与抛物线 判断直线是否与抛物线的对称轴平行 不平行 直线与抛物线相交(一个交点) 平行 三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序（二） 计 算 判 别 式 >0 =0 <0 相交 相切 相离 直线与抛物线 分析:用坐标法解决这个问题,只要讨论直线的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况,由方程组的解的个数判断直线与抛物线的公共点个数. 直线与抛物线 解：由题意可设直线方程为：y=k(x+2)+1,代入抛物线方程整理可得 k²x²+(4k²+2k-4)2+4k²+4k+1=0（*） (1)直线与抛物线只有一个公共点等价于（*)只有一个根 ①k=0时，y=1符合题意; ②k≠0时，△=(4k²+2k-4)2-4k²(4k2+4k+1)=0，整理得2k²+k-1=0,解得k=或k=-1. 综上可得，k=或k=-1或k=0; (2）由（1）得2k²+k-1<0且k≠0, ∴-1<k<且k≠0; (3)由（1)得2k²+k-1>0，∴k>或k<-1. 直线与抛物线 直线与抛物线 直线与抛物线 练习1：当实数a为何值时,直线y=(a+1)x-1与抛物线y2=ax(a≠0)相交? 解：列方程组消去x并化简,得(a+1)y2-ay-a=0,　(*) ①当a+1=0,即a=-1时,方程(*)化为y+1=0, ∴y=-1, ∴方程组的解为故直线与抛物线相交; ②当a+1≠0,即a≠-1时,由Δ=(-a)2+4a(a+1)≥0,得5a2+4a≥0,结合a≠0, 解得a<-1或-1<a≤- 或a>0. 综上所述,当a≤- 或a>0时,直线与抛物线相交. 直线与抛物线 直线与抛物线 抛物线中的最值 直线与抛物线 直线与抛物线 03弦长与弦中点问题 PART ONE 弦长与弦中点 弦长与弦中点 弦长与弦中点 点差法 弦长与弦中点 设而不求 弦长与弦中点 弦长与弦中点 练习：已知抛物线的方程是y2=4x,直线l交抛物线于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2). (1)若弦AB的中点为(3,3),求直线l的方程; (2)若y1y2=-12,求证:直线l过定点. 弦长与弦中点 l的方程为y=kx-3k=k(x-3),过定点(3,0). 当l的斜率不存在时,y1y2=-12,则x1=x2=3,l过定点(3,0). 综上,l过定点(3,0). 04轨迹方程 PART ONE 轨迹方程 例5.如图所示，已知定点,轴于点，是线段上任意一点，于点，与相交于点，求点的轨迹方程。 解：设点，，其中，则点的坐 标为. 由题意，直线的方程为