重难点3 导数与函数零点、不等式的综合运用（精讲）-2023-2024学年高二数学《一隅三反》系列（人教A版2019选择性必修第二册）

重难点3 导数与函数零点、不等式等的综合运用（精讲） 考点一 零点的个数 【例1】（2022秋·四川遂宁 ）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数极值点； (3)当时，求函数的零点个数. 【一隅三反】 1．（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知为实数，函数 (1)当时，求函数的极值点； (2)当时，试判断函数的零点个数，并说明理由． 2．（2023秋·江苏常州 ）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若在上单调递增，求实数的取值范围； (3)当时，判断在零点的个数，并说明理由． 3．（2023春·广东·高二校联考期末）已知函数，为的导数. (1)证明：在区间上存在唯一极大值点； (2)求函数的零点个数. 考点二 零点个数求参 【例2】（2023秋·山东）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有且仅有3个零点，求实数的取值范围. 【一隅三反】 1．（2023秋·云南昆明 ）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数存在两个零点，求实数a的取值范围. 2．（2023秋·宁夏石嘴山 ）设函数，. (1)讨论的单调性； (2)若在区间上有且只有一个零点，求实数a的取值范围． 考点三 不等式恒（能）成立 【例3】（河南省TOP二十名校2024届高三上学期调研考试四数学试题）已知函数． (1)求的极值； (2)令，若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【一隅三反】 1．（2023秋·山西 ）已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直． (1)求的解析式及的值； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 2．（2023秋·江苏连云港 ）已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)当时，恒成立，求整数a的最大值． 3（2023秋·黑龙江齐齐哈）已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若存在，使得，求的取值范围. 考点四 证明不等式 【例4】（2022·四川南充·四川省南充高级中学校考一模）已知函数有两个不同的零点. (1)求实数的取值范围； (2)求证：. 【一隅三反】 1．（2023秋·四川绵阳 ）已知函数（），（）． (1)若函数在处的切线方程为，求实数与的值； (2)当时，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 2．（2023秋·浙江金华 ）已知函数有两个零点. (1)求的取值范围； (2)证明：. 考点五 极值点偏移 【例5】（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个零点． (1)求a的取值范围； (2)设是的两个零点，证明：． 【一隅三反】 1．（2023春·陕西榆林 ）已知，其极小值为-4. (1)求的值； (2)若关于的方程在上有两个不相等的实数根，，求证：. 2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 (1)求函数单调区间； (2)设函数，若是函数的两个零点， ①求的取值范围； ②求证：． 3．（2023·湖南）已知函数. (1)证明：. (2)若函数，若存在使，证明：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点3 导数与函数零点、不等式等的综合运用（精讲） 考点一 零点的个数 【例1】（2022秋·四川遂宁 ）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数极值点； (3)当时，求函数的零点个数. 【答案】(1) (2)极小值点为，无极大值点 (3) 【解析】（1）对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为，且， ，则， 所以，曲线在点处的切线方程为. （2）因为，函数的定义域为，且， 当时，，则，，，此时，， 当时，，则，，，此时，， 所以，函数在区间上单调递减，在上单调递增， 所以，函数的极小值点为，无极大值点. （3）当时，， 该函数的定义域为，且， 令，其中，则， 令可得，列表如下： 增 极大值 减 所以，函数的增区间为，减区间为， 因为，，， 所以，函数在、上各有一个零点，且其中一个零点为. 综上所述，当时，函数的零点个数为. 【一隅三反】 1．（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知为实数，函数 (1)当时，求函数的极值点； (2)当时，试判断函数的零点个数，并说明理由． 【答案】(1)有且仅有一个极小值点 (2)零点个数为2，理由见解析 【解析】（1）当a=0时，，故， 令，故， 与在区间上的情况如下： 0 + 极小值 所以在区间上单调递减，在区间单调递增， 所以函数有且仅有一个极小值点． （2）函数的零点个数为2，理由如下： （1）当时，． 由于， 所以， 故函数在区间上单调递减， ， 所以函数在区间上有且仅有一个零点； （2）当时，， 故， 令，得， ，故， 因此恒有，