专题03 空间几何与空间向量（解答题10种考法）讲义--2024届高三数学二轮复习《考法分类》专题训练（新高考）

专题03 空间几何（解答题10种考法） 考法一 平行 【例1-1】（2023春·河北邯郸 ）如图，在三棱柱中，G，O，H，M分别为DE，DF，AC，BC的中点，N为GC的中点.    (1)证明：平面ABED. (2)证明：平面平面BCFE. 【例1-2】（2023秋·云南）如图，四棱锥的底面为平行四边形．设平面与平面的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．    (1)求证：平面平面； (2)求证：． 【例1-3】（2023·青海）如图，在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，M为CD中点，连接BM，CE交于点F，G为△ABE的重心，证明：平面ABC 【例1-4】（2023·全国·统考高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，，证明：    【例1-5】（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，，，为点在平面上的射影，为的中点．证明：平面.    【变式】 1．（2023春·浙江金华）在正方体中，分别是和的中点，求证    (1) (2)平面． (3)平面平面． 2．（2023春·新疆省直辖县级单位 ）如图，已知平面ACD，平面ACD，为等边三角形，，F为CD的中点，求证：∥平面BCE. 3．（2022春·浙江温州 ）已知三棱锥中，，，为中点，为中点，在上，，求证：平面    4．（2022秋·吉林长春）如图，在正三棱柱中，，点在上，且，为中点，证明：平面    考法二 垂直 【例2-1】（2023秋·海南海口 ）已知三棱锥中，底面，，分别为，的中点，于．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【例2-2】（2022·河北石家庄·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，，点为的中点，且平面，求证：平面 【例2-3】（2023北京）在平行四边形中过点作的垂线交的延长线于点，.连接交于点，如图1，将沿折起，使得点到达点的位置.如图2.证明：直线平面. 【例2-4】（2023·全国·高三专题练习）如图，三棱锥中，，均为等边三角形，，O为AB中点，点D在AC上，满足，且面面ABC．证明：面POD．    【变式】 1.（2023·全国·统考高考真题）如图，三棱锥中，，，E为BC的中点，证明：；      2．（2023秋·山东）如图所示，在正方体中，为棱的中点，N为棱上的点，且，求证：.    3．（2023·湖南）如图，在四棱台中，平面平面ABCD，底面为正方形，，.求证：平面. 4.（2023湖北）如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱中，，是线段的中点，是线段靠近点的四等分点，点在线段上，求证： 考法三 空间角之向量法 【例3-1】（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【例3-2】（2023·广东茂名·统考一模）如图所示，三棱锥，BC为圆O的直径，A是弧上异于B、C的点.点D在直线AC上，平面PAB，E为PC的中点. (1)求证：平面PAB； (2)若，求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值. 【变式】 1．（2023·云南·校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，为的中点．    (1)证明：； (2)求二面角的平面角的余弦值． 2.（2023·全国·统考高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．      (1)证明：； (2)点F满足，求二面角的正弦值． 3（2022·全国·统考高考真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．    (1)证明：平面； (2)若，，，求二面角的正弦值． 考法四 空间角之几何法 【例4-1】（2023秋·四川遂宁 ）如图，多面体中，四边形为平行四边形，，，四边形为梯形，，，，，平面 (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【例4-2】（2023春·河南商丘 ）如图，四边形是正方形，平面，且 . 求：    (1)求二面角的大小． (2)求二面角的大小. (3)求二面角的大小的正弦值． 【变式】 1．（2023春·福建宁德 ）四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面，已知，，，．    (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 2．（2023秋·山东潍坊·高三校考阶段练习）如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，，分别是线段，的中点.    (1)证明：； (2)若与平面所成的角为，求二面角的余弦值. 考法五 空间距离之向量法 【例5】（2023·重庆·统考模拟预测）在多面体中，四边形是边长为4的正方形，，△ABC是正三角形．    (1)若为AB的中点，求证：直线平面； (2)若点在棱上且，求点C到平面的距离． 【变式】 1．（2023·天津北辰·校考模拟预测）在四棱锥中，底面