2.1 认 识 无 理 数 课件 2023-2024学年北师大版八年级数学上册

认 识 无 理 数 学 科：数学（北师大版) 八年级 上 学习目标 （1）了解数学史上的第一次危机，体会数学家对探索数学真相的无畏精神，树立敢于质疑、敢于追求真理的信念。 （2）通过拼图活动，直观理解无理数的存在性，借助计算机探索无理数是无限不循环小数的过程，从中体会无限逼近的思想，感受合情推理和演绎推理的魅力。 （3）理解无理数的定义，体会数系扩充的必要性，会判断一个数是有理数还是无理数。 情境引入 1 问题：希帕索斯发现了一种什么样的数？ 他是怎么发现的？ 探究新知 2 活动：把准备的两个相同的正方形通过剪一剪、拼一拼，设法得到一个大正方形，说说你是怎么拼起来的？ 探究新知 2 还有好多方法哦！课余时间再动手试一试！ 探究新知 2 问题1：设大正方形的边长为a，则a满足什么条件？ 问题2：a可能是整数吗？说说你的理由。 问题3：a可能是分数吗？说说你的理由，并与同伴交流。 问题4：a究竟是个什么数呢？它是多大呢？让我们借助计算器来估算一下。 探究新知 2 估算1：因为 ， , 所以 1<a<2 估算2：因为 , 所以 1<a<1.5 估算3：因为 , 所以 1.25<a<1.5 估算4：因为 , 所以 1.375<a<1.5 估算5：因为 , 所以 1.375<a<1.4375 估算6：因为 , 所以 1.40625<a<1.4375 探究新知 2 问题5：还可以继续算下去吗？ 会不会算到某一次，这个数的平方恰好等于2？ 问题6：你现在觉得 a 是一个什么数？ 猜想：a 是一个无限不循环小数。 探究新知 2 刚才我们估算的过程，是一个合情推理的过程，这或许就是希帕索斯发现“这种数”的过程吧。接下来还有人会站出来支持希帕索斯吗？世人会接受“这种数”的存在吗？ 100多年后，在公元前370年左右，柏拉图的学生攸多克萨斯通过演绎推理的方式，证明了“这种数”的存在，解决了希帕索斯提出的问题，而后，世人才慢慢地接受“这种数”的存在。 探究新知 2 真理或许偶尔会迟到，但永远不会缺席。 假设 （p 和 q 互质） 证明： 于是有 ，所以 因此 是偶数, p 是偶数 于是可设 p=2m 那么 ，则 因此 是偶数, q 是偶数 这与" p 和 q 是互质的两个整数"的假设矛盾。 因此，结合刚才的估算，a 只能是一个无限不循环小数。 探究新知 2 问题7：类似 a 的数还有很多，你还能举出例子吗？ 规定：无限不循环小数称为无理数。 除了像刚才我们举出的例子，像我们非常熟悉的圆周率π=3.1415926...也是一个无限不循环小数，因此它也是个无理数。再如：0.585885888588885...（相邻两个5之间8的个数逐次加1），也是无理数。 数系扩充：有理数和无理数统称为实数。 应用拓展 3 例1 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14， ， ， ，0.101000100001... 解：3.14， ， 是有理数； ，0.101000100001... 是无理数； 应用拓展 3 例2 下列说法是否正确： （1）所有无限小数都是无理数 （2）所有无理数都是无限小数 （3）有理数都是有限小数 （4）不是有限小数的不是有理数 不正确 正确 不正确 不正确 应用拓展 3 拓展1：在下面的正方形网格中，画出3条不相等且长度都是无理数的线段。 a b c 应用拓展 3 拓展2：请你在方格纸上按照如下要求画出直角三角形： （1）使它的三边中有一边边长不是有理数； （2）使它的三边中有两边边长不是有理数； （3）使它的三边都不是有理数。 a b c a b c a b c 知识体系 01 03 04 02 无理数的