4.1一次函数与正比例函数2023-2024学年北师大版数学八年级上学期

一次函数与正比例函数 学 科：数学（北师大版) 八年级 上 学习目标 1．经历一次函数概念的抽象过程，理解一次函数和正比例函数的概念。 2．能根据所给条件写出正比例函数和简单的一次函数表达式。 3．经历从实际问题中得到函数关系式这一过程，发展学生的数学应用能 力，激起学生民族自豪感，增强学生的社会责任感，培养家国情怀和 爱国主义精神。 情境引入 1 情境一： 近年来我国高铁发展迅速，取得了举世瞩目的成就，“复兴号”高速列车，是由中国铁路总公司牵头组织研制、具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车，是目前世界上运营时速最高的高铁列车。它是我国高铁的名片，为人们的出行提供了极大的方便。 情境引入 1 问题1：某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行，在匀速运行的这段时间内， (1) 计算匀速行驶时间分别为 1 h，2 h，3 h，4 h，5 h 时的行进路程，并填入下表： 匀速行驶时间x(h) 0 1 2 3 4 5 行进路程y(km) (2)你能写出y与x之间的关系吗？ y=350x 350 700 1050 1400 1750 0 路程=速度×时间 问题2：科技创新加速中国高铁技术发展，某建筑集团承担一座长度为4500米的高架桥铺设任务，采用新的铺设技术后，每天铺设长度达到了500米， 情境引入 1 （2）你能写出铺设长度y (m)与铺设时间 x (天)之间的关系式吗？ （3）你能写出高架桥剩余的铺设长度z (m)与铺设时间 x (天)之间的关系式吗？ 铺设时间 x (天) 0 1 2 3 4 5 铺设长度 y (m) （1）完成下表： y=500x z =4500 － 500x 500 1000 1500 2000 2500 0 工作总量=工作效率×工作时间 情境引入 1 情境二： “绿水青山就是金山银山”，这句富含哲理的话已广为人知、深入人心，更在实践中开花结果、惠及民生。 某地为改善生态环境，积极开展植树造林活动，亮亮从近十年的统计数据中发现：从2012年起，平均每年防护林的面积增加15万亩，2012年防护林的面积是4200万亩，按照这个平均增长速度，以2012年为起点，设x年后，防护林的面积为y万亩，请你写出y与x之间的关系式。 y =4200 +15x x年后防护林面积=2012年防护林面积+每年增加的面积×年数 探究新知 2 从前面的情境中，我们得到了几个函数关系式： 探究活动一： y=350x，y=500x，z =4500 － 500x ，y =4200 +15x . 你能找出它们的共同点吗？ （1）有两个变量，等号左边的是因变量，等号右边是关于自变量的整式； （2）等号右边关于自变量的整式是一次式，即自变量的次数为1。 探究新知 2 y = 500 x 你能将上述函关系式统一写成一种形式吗？若能，这样的函数关系式要满足什么条件？ b y = 15 x +4200 z = -500 x +4500 y = k x + （k≠0） （1）当k=0时，函数将变成什么？ y=b，此时没有变量x. y=kx（k≠0），此时y与x成正比例. （2）当b=0时，函数y=kx+b（k≠0）将变成什么形式？此时y与x成什么关系？ 一次函数 正比例函数 y = 350 x 探究活动二： 探究新知 2 若两个变量 x、y间的对应关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数，k ≠ 0）的形式，则称 y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量.）. 特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数. 一次函数与正比例函数的概念 探究新知 2 归纳总结：我们通过哪几个步骤获得了一次函数概念？ “中国高铁”和“防护林”问题情境 一次函数 从实际问题抽象出具体函数 观察并归纳具体函数的共同特征 用文字和符号来定义与表示一次函数 y=kx+b(k,b为常数，k ≠ 0） y=350x y=500x z =4500 － 500x y =4200 +15x 探究新知 2 练一练：下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？ (1)y＝－x－4; (2)y＝5x2－6； (3)y＝2πx; (6)y＝8x2＋x(1－8x). 解：一次函数有（1），（3），（4）和（6）； 正比例函数有（3），（4）和（6）