1.6完全平方公式2023-2024学年北师大版数学七年级下学期

完全平方公式（第一课时） 学 科：数学（北师大版) 七年级 下 1 学习目标 （1）从几何和代数两方面体会完全平方公式的发现和推导过程， 理解公式的本质，会应用公式进行计算。 （2）让学生亲身经历公式探索过程， 发展推理、沟通、表达、数形结合能力。 （3）在数学活动中增强学生的探究精神、科学精神、钻研精神。 情境引入 1 寻梦 之旅 造梦 花市 a b 绘梦蓝图 筑梦舞台 a b 湾区春似锦，鹏城花如梦。芳菲四月，万物盎然，2023粤港澳大湾区花展如期而至。在其中一块正方形土地上，按如图分为“寻梦之旅”“绘梦蓝图”“筑梦舞台”“造梦花市”四个板块，问土地总面积（用字母表示） 情境引入 1 土地（大正方形）边长： 土地面积（大正方形面积）： a + b (a + b)2 寻梦 之旅 造梦 花市 a b 绘梦蓝图 筑梦舞台 a b 情境引入 1 寻梦 之旅 a2 绘梦 蓝图 ab 造梦 花市 b2 筑梦 舞台 ab 土地面积（各部分面积和）： a² + 2ab + b² 探究新知 2 (a + b)² = a² + 2ab + b² [a + (-b)]² = a² + 2a(-b) + (-b)² = a² - 2ab + b² (a - b)² 完全平方公式 巧记： 首平方，末平方， 首末两倍放中央，符号看前方 b a ① ② ③ ④ b a a-b ① ② ③ ④ 应用拓展 3 (1) (a + b)(b - a) (2) (a + b)(-a - b) (3) (a - b)(-b - a) (4) (a - b)(-a + b) 练1：辨别下列公式是否为完全平方公式？ 举手抢答 应用拓展 3 (1) (5－a)2 (2) (－3m－4n)2 (3) (－3a＋b)2 (4) (2x+y－3)(2x+y+3) 练2：利用完全平方公式做多项式展开 分小组活动 应用拓展 3 例1：如果x2＋mx＋9是一个完全平方式，求m的值 ∵x2＋mx＋9＝x2＋mx＋32 解： ∴mx＝±2·x·3 ∴m＝±6 应用拓展 3 练3：如果4x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式， 求m的值 代表板书 解： ∵4x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(2x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2， ∴(m＋1)xy＝±2·2x·5y， ∴m＋1＝±20 ∴m＝19或－21. 应用拓展 3 思考：类比平方差公式所学，归纳完全平方公式的构成 深度理解 (a + b)² = a² + b² + 2ab (a - b)² = a² + b² - 2ab 两数和/差 两数平方和 两数积 “知二求一” 应用拓展 3 例2：若 x - y＝7，且 xy＝5，则 x2 + y2 = ? 知二求一 解： ∵ x－y ＝7，xy ＝5 且 (x－y)2 ＝ x2 + y2 －2xy ∴ x2 + y2 ＝(x－y)2 + 2xy ＝72 + 2×5 ＝59 已知两数差、两数积 求两数平方和 应用拓展 3 练4：若(2023-x)2+(x-2022)2＝2021，则(2023-x)(x-2022)=？ 挖掘隐藏 已知两数平方和 求两数积 隐藏条件：(2023-x)+(x-2022)＝1 （两数和为定值） 换 元 法：a = 2023-x ，b = x-2022 设 a = 2023－x，b = x－2022 ∵ a + b = 1 ∴ (a + b)2 = 12 = 1 ∵a2 + b2 ＝ 2021 且 (a + b)2 ＝ a2 + b2 －2ab ∴2ab＝ a2 + b2 － (a + b)2 ＝2021－1＝2020 ∴ab＝1010 ∴(2023-x)(x-2022)=1010 解： 应用拓展 3 练5：下表为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如(a＋b)n (n为正整数)展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出(a＋b)n展开式中所缺的系数。 数学文化 (a＋b)1＝a＋b，(a＋b)2＝a2＋2ab