2024届高考数学一轮复习讲义：离散随机变量及其分布列

课题：离散随机变量及其分布列 知识点 离散型随机变量的概念和性质 （1）离散型随机变量：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量． （2）离散型随机变量的分布列及性质． （1）一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi（i＝1,2，…，n）的概率P（X＝xi）＝pi，则表称为离散型随机变量X的概率分布列． X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn （2）离散型随机变量的分布列的性质：①pi≥0（i＝1,2，…，n）；②p1＋p2＋…＋pn＝1． 【注1】 1．求分布列的三种方法 （1）由统计数据得到离散型随机变量的分布列； ①可设出随机变量Y，并确定随机变量的所有可能取值作为第一行数据； ②由统计数据利用事件发生的频率近似地表示该事件的概率作为第二行数据． ③由统计数据得到分布列可帮助我们更好理解分布列的作用和意义． （2）由古典概型求出离散型随机变量的分布列；求离散型随机变量的分布列， ①要根据具体情况确定X的取值情况， ②利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．而超几何分布就是此类问题中的一种． （3）由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列． 2．求离散型随机变量分布列的步骤 （1）找出随机变量X的所有可能取值xi（i＝1,2,3，…，n）； （2）求出各取值的概率P（X＝xi）＝pi； （3）列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确． 3． 解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路 （1）明确随机变量可能取哪些值． （2）结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值． （3）根据分布列和期望、方差公式求解． （4）解题中要善于透过问题的实际背景发现其中的数学规律，以便使用我们掌握的离散型随机变量及其分布列的知识来解决实际问题． 典型例题 例1已知下列四个变量： ①某高铁候车室中一天的旅客数量X1； ②某次学术讲座中学员向主讲教授提问的次数X2； ③某一天中长江的水位X3； ④某次大型车展中销售汽车的车辆数X4． 其中不是离散型随机变量的是（　　） A．①中的X1　　　　B．②中的X2 C．③中的X3 D．④中的X4 例2设某项试验的成功率是失败率的2倍，试验一次要么成功要么失败，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P（X＝0）等于（　　） A．0 B． C． D． 例3抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，那么X＝4表示的基本事件是（　　） A．一颗是3点，一颗是1点 B．两颗都是2点 C．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点 D．甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点 例4设随机变量X的分布列如下：则p为（　　） X 1 2 3 4 5 P p A．　　　　　　　　　B． C． D． 例5在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数X的分布列为________． 例6某商店举行三周年店庆活动，每位会员交会员费50元，可享受20元的消费，并参加一次抽奖活动，从一个装有标号分别为1，2，3，4，5，6的6只均匀小球的抽奖箱中，有放回的抽两次球，抽得的两球标号之和为12，则获一等奖价值元的礼品，标号之和为11或10，获二等奖价值100元的礼品，标号之和小于10不得奖． （1）求各会员获奖的概率； （2）设商店抽奖环节收益为元，求的分布列；假如商店打算不赔钱，最多可设为多少元？ 举一反三 1．某射手射击所得环数X的分布列为 X 4 5 6 7 8 9 10 P 0．02 0．04 0．06 0．09 0．28 0．29 0．22 则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为（　　） A．0．28 B．0．88 C．0．79 D．0．51 2．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是（　　） A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球 C．取到白球的个数 D．取到的球的个数 3．设随机变量X的分布列如下表： 则P（|X－3|＝1）的值是（　　） A． B． C．