7.2 离散型随机变量及其分布列（6大题型）（分层作业）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

第七章 随机变量及其分布 7．2 离散型随机变量及其分布列（6大题型） 分层作业 目录 基础过关练 2 题型一：随机变量的概念 2 题型二：离散型随机变量的判断 3 题型三：用随机变量表示事件的结果 4 题型四：求离散型随机变量的分布列 5 题型五：分布列的性质及其应用 6 题型六：两点分布 8 拓展培优练 8 题型一：随机变量的概念 1．将一颗质地均匀的骰子掷两次，不能作为随机变量的是（　　） A．第一次出现的点数 B．第二次出现的点数 C．两次出现点数之和 D．两次出现相同点的种数 【答案】D 【解析】由随机变量的定义知，由于两次出现相同点的种数是定值6，故不是随机变量. 故选：D. 2．将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是（    ） A．两次掷得的点数 B．两次掷得的点数之和 C．两次掷得的最大点数 D．第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数的差 【答案】A 【解析】因为随机变量为一个变量， 而A中两次掷得的点数的取值是一个数对，不是一个数， 所以不能作为随机变量， 故选A. 3．一个袋中装有除颜色外完全相同的2个黑球和6个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是（    ） A．取到的球的个数 B．取到红球的个数 C．至少取到1个红球 D．至少取到1个红球或1个黑球 【答案】B 【解析】A中叙述的结果是确定的，不是随机变量，B中叙述的结果可能是0，1，2，所以是随机变量．C和D叙述的结果也是确定的，故不是随机变量． 故选：B. 题型二：离散型随机变量的判断 4．①某座大桥一天经过的车辆数为X； ②某通信公司官方客服一天内接听电话的总次数为X； ③一天之内的温度为X； ④一射手对目标进行射击，命中得1分，未命中得0分，用X表示射手在一次射击中的得分. 上述问题中的X是离散型随机变量的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【解析】①大桥一天经过的车辆数是可一一列举， ②客服一天内接听电话的总次数是可一一列举， ③一天之内的温度是连续型变量， ④一次射击中的得分是可一一列举， 由离散随机变量的定义知：①②④. 故选：B 5．下列X是离散型随机变量的是（    ） ①某座大桥一天经过的车辆数X； ②在一段时间间隔内某种放射性物质放出的α粒子数η； ③一天之内的温度X； ④一射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中得0分，用X表示该射手在一次射击中的得分. A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【解析】①、②、④中的X取值均可一一列出，而③中的X是一个范围.不能一一列举出来， 故选：B. 6．给出下列各量： ①某机场候机室中一天的游客数量； ②某寻呼台一天内收到的寻呼次数； ③某同学离开自己学校的距离； ④将要举行的绘画比赛中某同学获得的名次； ⑤体积为8的正方体的棱长. 其中是离散型随机变量的是（    ） A．①②④ B．①②③ C．③④⑤ D．②③④ 【答案】A 【解析】由题意，①②④是离散型随机变量，③是连续型随机变量， ⑤中体积为8的正方体的棱长是一个常量，不是随机变量. 故选：A. 题型三：用随机变量表示事件的结果 7．一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后四位数字(两两不同)，设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ，则随机变量ξ的所有可能取值的种数为（    ） A．24 B．20 C．18 D．12 【答案】A 【解析】由于后四位数字两两不同，且都大于， 因此只能是四位数字的不同排列，故有种. 故选：A 8．袋中装有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是（    ） A．25 B．10 C．15 D．9 【答案】D 【解析】由题意得：两个球的号码之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个. 故选：D 9．在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规定：每题回答正确得100分，回答不正确得分，则选手甲回答这三个问题的总得分的所有可能取值的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，分，分，因此甲回答这三个问题的总得分的所有可能取值有4个． 故选：B 题型四：求离散型随机变量的分布列 10．北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业、礼仪及服务等方面知识的测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，若甲能答对其中的5道题，求： (1)甲测试合格的概率； (2)甲答对的试题数X的分布列. 【解析】（1）设甲测试合格为事件A，则. （2）甲答对的试题数X可以为0，1，2，3， ，， ，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 11．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，而北京也成为全球唯一主办过夏季奥运会和冬季奥运会的双奥之城.某学校为了庆祝北京冬奥会的召开，特举行奥运知识竞赛.参加的学生从夏奥知识题中抽取2题，冬奥知识题中抽取1题回答，已知学生（含甲）答对每道夏奥知识题的概率为，答对每道冬奥知识题的概率为，每题答对与否不影响后续答题. (1)学生甲恰好答对两题的概率是多少？ (2)求学生甲答对的题数X的分布列. 【解析】（1）学生甲恰好答对两题的概率. （2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3. 且， ， ， ， 所以X的分布列为 0 1 2 3 12．将4个形状､大小､颜色均相同的排球随机放入4个编号为的排球筐内，每个排球筐最多可容纳5个排球，记编号为2的排球筐内最终的排球个数为. (1)求编号为2的排球筐内有球的概率； (2)求的分布列. 【解析】（1）设事件“编号为的排球筐内有球”为事件， 则； （2）由题意，的可能取值为，，，，， 所以，， ，，. 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 题型五：分布列的性质及其应用 13．已知某个离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 3 0.3 0.1 则的最小值为 . 【答案】15 【解析】由分布列性质可知，，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为15. 故答案为： 14．已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则 . 【答案】 【解析】因为X的分布列服从两点分布，所以， 因为， 所以 ∴，∴. 故答案为： 15．若随机变量的分布列为 0 1 2 3 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当时，实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由分布列知，， ，而， 所以. 故答案为： 题型六：两点分布 16．若随机变量X服从两点分布，，则（    ） A．0.5 B．0.57 C．0.67 D．0.77 【答案】C 【解析】. 故选：C 17．已知随机变量服从两点分布，且，设，那么（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 【答案】D 【解析】由题意可知，当时，即，解得， 又因为随机变量服从两点分布，且， 所以. 故选：D. 18．已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为的分布列服从两点分布，所以， 又，所以， 所以，所以. 故选：A. 1．（2025·高二·江苏连云港·期中）同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数.设两颗骰子出现的点数分别为，，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，随机变量满足的事件是、、的3个互斥事件的和， 而，，， 所以. 故选：B 2．（2025·高二·河南·期中）已知的分布列如表所示，其中a，b都是非零实数，则的最小值是（    ） 1 2 3 4 P a b A．12 B．6 C． D． 【答案】B 【解析】根据分布列的性质知，．且， 所以， 当且仅当时等号成立, 故选:B． 3．（2025·高二·全国·单元测试）已知抛物线的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，，在这些抛物线中，记随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于抛物线的对称轴在y轴左侧， 所以，即a，b同号且均不为零，c可取中的任意值， 所以共有种不同的情况． 因为， 所以的取值范围是， 其中的可能情况为且，所以， 的可能情况为且，所以， 的可能情况为且，所以， 所以． 故选：A． 4．（2025·全国·模拟预测）泊松分布是一种离散概率分布由法国数学家西莫恩·德尼·泊松于年发表，适合于描述单位时间内随机事件发生的次数.泊松分布的概率函数为，是自然对数的底数，是泊松分布的均值.用于制造核武器和核反应堆的钚是钚的同位素，一纳克钚每秒平均发生次放射性衰变，假设衰变次数服从泊松分布，则秒内一纳克钚恰好发生次放射性衰变的概率约为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为一纳克钚每秒平均发生次放射性衰变，所以秒内一纳克钚发生放射性衰变的均值为次， 因为衰变次数服从泊松分布，所以， 所以， 故选：B. 5．（2025·高二·内蒙古·期中）袋中有5个球（3个白球，2个黑球）现每次取一球，无放回抽取2次，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（    ） A．3/5 B．3/4 C．1/2 D．3/10 【答案】C 【解析】记事件A为“第一次取到白球”，事件B为“第二次取到白球”， 则事件AB为“两次都取到白球”， 依题意知，， 所以，在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是． 故选：C. 6．（2025·高二·全国·阶段练习）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有个红球和个篮球且，从乙盒中随机抽取 个球放入甲盒中，放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】从乙盒中取1个球时，取出的红球个数记为， 则的所有可能取值为0，1， 则， ， 所以； 从乙盒中取2个球时，取出的红球数记为， 则的可能取值为0，1，2， 则， ， ， 所以 所以，故A项正确； ， 因为，所以，所以，所以， 所以，即，故C项正确； 而，， 得，即，故D项错误； ，故B项正确； 故选：D. 7．（2025·高二·广东深圳·期末）已知随机变量X的分布列表如下表，且随机变量，则Y的期望是（    ） X -1 0 1 m A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由随机变量X的分布列得： ， 解得， ， ， ． 故选：A． 8．（2025·高三·浙江杭州·阶段练习）随机变量的取值为，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，， ①， 又，② 由①②得，，， ， 故选：B. 9．（2025·高三·全国·专题练习）某种儿童游戏每局的规则是：儿童先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其资金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）.若随机变量和分别表示儿童在一局游戏中的资金和奖金，则 ． 【答案】/ 【解析】资金的分布列为 1 2 3 4 5 P 奖金的分布列为 1.4 2.8 4.2 5.6 P 则. 故答案为：. 10．（2025·高二·全国·课堂例题）已知离散型随机变量X的分布列服从参数为p的两点分布，且，则 . 【答案】 【解析】因为X的分布列服从参数为p的两点分布，所以，且， 所以即，∴. 故答案为： 11．（2025·高二·全国·假期作业）甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数为6的概率是 . 【答案】/0.0625 【解析】分别记为甲、乙、丙在第局获胜，则. 由已知，可取，其中表示事件为“甲胜丙胜乙胜甲胜丙胜丙胜”或 “乙胜丙胜甲胜乙胜丙胜丙胜”或“甲胜丙胜乙胜甲胜丙胜乙胜”或“乙胜丙胜甲胜乙胜丙胜甲胜”， 所以 . 故答案为：. 12．（2025·高三·全国·专题练习）某次乒乓球比赛的规则为：双方轮流发球，每人发一个球后交换发球权，先得11分的一方获胜，同时规定，双方比分达到（未达到时）后，先多得2分的一方获胜，双方比分达到后，先多得1分的一方获胜.甲、乙两人进行比赛，比分达到，下一次由甲发球，用表示结束比赛还需要发球的次数，已知甲、乙两人比赛时发球方得分的概率均为，则 . 【答案】 【解析】由题意知的所有可能取值为. 当时，甲的胜负情况为“胜胜”或“负负”，故. 当时，甲的胜负情况为“胜负胜胜”“胜负负负”“负胜胜胜”或“负胜负负”， 故. 则. 故答案为：. 13．（2025·湖北·模拟预测）某医院计划从急诊科、骨科中选调医生组建一支6人医疗救援队，该院骨科、急诊科各有5名医生报名加入医疗救援队． (1)小张是这次报名的骨科医生，求小张被选入医疗救援队的概率； (2)设被选入医疗救援队的骨科医生人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望． 【解析】（1）设事件A为“小张被选入医疗救援队”， 则． （2）X的所有取值可能为1，2，3，4，5， ， ， ， ， ， X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 故． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 随机变量及其分布 7．2 离散型随机变量及其分布列（6大题型） 分层作业 目录 基础过关练 2 题型一：随机变量的概念 2 题型二：离散型随机变量的判断 2 题型三：用随机变量表示事件的结果 3 题型四：求离散型随机变量的分布列 3 题型五：分布列的性质及其应用 4 题型六：两点分布 5 拓展培优练 5 题型一：随机变量的概念 1．将一颗质地均匀的骰子掷两次，不能作为随机变量的是（　　） A．第一次出现的点数 B．第二次出现的点数 C．两次出现点数之和 D．两次出现相同点的种数 2．将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是（    ） A．两次掷得的点数 B．两次掷得的点数之和 C．两次掷得的最大点数 D．第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数的差 3．一个袋中装有除颜色外完全相同的2个黑球和6个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是（    ） A．取到的球的个数 B．取到红球的个数 C．至少取到1个红球 D．至少取到1个红球或1个黑球 题型二：离散型随机变量的判断 4．①某座大桥一天经过的车辆数为X； ②某通信公司官方客服一天内接听电话的总次数为X； ③一天之内的温度为X； ④一射手对目标进行射击，命中得1分，未命中得0分，用X表示射手在一次射击中的得分. 上述问题中的X是离散型随机变量的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 5．下列X是离散型随机变量的是（    ） ①某座大桥一天经过的车辆数X； ②在一段时间间隔内某种放射性物质放出的α粒子数η； ③一天之内的温度X； ④一射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中得0分，用X表示该射手在一次射击中的得分. A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 6．给出下列各量： ①某机场候机室中一天的游客数量； ②某寻呼台一天内收到的寻呼次数； ③某同学离开自己学校的距离； ④将要举行的绘画比赛中某同学获得的名次； ⑤体积为8的正方体的棱长. 其中是离散型随机变量的是（    ） A．①②④ B．①②③ C．③④⑤ D．②③④ 题型三：用随机变量表示事件的结果 7．一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后四位数字(两两不同)，设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ，则随机变量ξ的所有可能取值的种数为（    ） A．24 B．20 C．18 D．12 8．袋中装有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是（    ） A．25 B．10 C．15 D．9 9．在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规定：每题回答正确得100分，回答不正确得分，则选手甲回答这三个问题的总得分的所有可能取值的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 题型四：求离散型随机变量的分布列 10．北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业、礼仪及服务等方面知识的测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，若甲能答对其中的5道题，求： (1)甲测试合格的概率； (2)甲答对的试题数X的分布列. 11．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，而北京也成为全球唯一主办过夏季奥运会和冬季奥运会的双奥之城.某学校为了庆祝北京冬奥会的召开，特举行奥运知识竞赛.参加的学生从夏奥知识题中抽取2题，冬奥知识题中抽取1题回答，已知学生（含甲）答对每道夏奥知识题的概率为，答对每道冬奥知识题的概率为，每题答对与否不影响后续答题. (1)学生甲恰好答对两题的概率是多少？ (2)求学生甲答对的题数X的分布列. 12．将4个形状､大小､颜色均相同的排球随机放入4个编号为的排球筐内，每个排球筐最多可容纳5个排球，记编号为2的排球筐内最终的排球个数为. (1)求编号为2的排球筐内有球的概率； (2)求的分布列. 题型五：分布列的性质及其应用 13．已知某个离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 3 0.3 0.1 则的最小值为 . 14．已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则 . 15．若随机变量的分布列为 0 1 2 3 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当时，实数的取值范围是 . 题型六：两点分布 16．若随机变量X服从两点分布，，则（    ） A．0.5 B．0.57 C．0.67 D．0.77 17．已知随机变量服从两点分布，且，设，那么（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 18．已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 1．（2025·高二·江苏连云港·期中）同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数.设两颗骰子出现的点数分别为，，记，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·高二·河南·期中）已知的分布列如表所示，其中a，b都是非零实数，则的最小值是（    ） 1 2 3 4 P a b A．12 B．6 C． D． 3．（2025·高二·全国·单元测试）已知抛物线的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，，在这些抛物线中，记随机变量，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·全国·模拟预测）泊松分布是一种离散概率分布由法国数学家西莫恩·德尼·泊松于年发表，适合于描述单位时间内随机事件发生的次数.泊松分布的概率函数为，是自然对数的底数，是泊松分布的均值.用于制造核武器和核反应堆的钚是钚的同位素，一纳克钚每秒平均发生次放射性衰变，假设衰变次数服从泊松分布，则秒内一纳克钚恰好发生次放射性衰变的概率约为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 5．（2025·高二·内蒙古·期中）袋中有5个球（3个白球，2个黑球）现每次取一球，无放回抽取2次，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（    ） A．3/5 B．3/4 C．1/2 D．3/10 6．（2025·高二·全国·阶段练习）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有个红球和个篮球且，从乙盒中随机抽取 个球放入甲盒中，放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 7．（2025·高二·广东深圳·期末）已知随机变量X的分布列表如下表，且随机变量，则Y的期望是（    ） X -1 0 1 m A． B． C． D． 8．（2025·高三·浙江杭州·阶段练习）随机变量的取值为，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 9．（2025·高三·全国·专题练习）某种儿童游戏每局的规则是：儿童先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其资金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）.若随机变量和分别表示儿童在一局游戏中的资金和奖金，则 ． 10．（2025·高二·全国·课堂例题）已知离散型随机变量X的分布列服从参数为p的两点分布，且，则 . 11．（2025·高二·全国·假期作业）甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数为6的概率是 . 12．（2025·高三·全国·专题练习）某次乒乓球比赛的规则为：双方轮流发球，每人发一个球后交换发球权，先得11分的一方获胜，同时规定，双方比分达到（未达到时）后，先多得2分的一方获胜，双方比分达到后，先多得1分的一方获胜.甲、乙两人进行比赛，比分达到，下一次由甲发球，用表示结束比赛还需要发球的次数，已知甲、乙两人比赛时发球方得分的概率均为，则 . 13．（2025·湖北·模拟预测）某医院计划从急诊科、骨科中选调医生组建一支6人医疗救援队，该院骨科、急诊科各有5名医生报名加入医疗救援队． (1)小张是这次报名的骨科医生，求小张被选入医疗救援队的概率； (2)设被选入医疗救援队的骨科医生人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$