3.3.2抛物线的简单几何性质导学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.3.2 抛物线的简单几何性质 班级 姓名 【学习目标】 1． 了解抛物线的图像，知道抛物线的简单几何性质 2． 学会利用抛物线方程和几何性质解决问题 【自学天地】 抛物线标准方程的几何性质 范围：，， 对称性：关于x轴对称 顶点：坐标原点 离心率：. 抛物线的通径 通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径。 抛物线的通径长为2p。 由通径的定义我们还可以看出，P刻画了抛物线开口的大小，P值越大，开口越宽；P值越小，开口越窄． 抛物线标准方程几何性质的对比 图形 标准方程 y2=2px（p＞0） y2=－2px（p＞0） x2=2py（p＞0） x2=－2py（p＞0） 顶点 O（0，0） 范围 x≥0， x≤0， y≥0， y≤0， 对称轴 x轴 y轴 焦点 离心率 e=1 准线方程 焦半径 题型 1　开口大小与p的关系 例1．在同一坐标系中画出下列抛物线，观察它们开口的大小，并说明抛物线开口大小与方程中x的系数的关系： （1）；    （2）；     （3）；    （4）． 【答案】图象如图，x的系数的绝对值越大,抛物线的开口越大. 【分析】作出抛物线图象，得x的系数的绝对值越大,抛物线的开口越大. 【详解】解:抛物线如图,x的系数的绝对值越大,抛物线的开口越大.      题型2：利用性质求方程 例2．求适合下列条件的抛物线的标准方程： （1）焦点F关于准线的对称点为； （2）关于y轴对称，与直线相交所得线段的长为12； （3）关于x轴对称，以焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形． 【答案】（1）；（2）；（3）或. 【分析】用待定系数法求抛物线的标准方程. 【详解】（1）由题意可设抛物线的标准方程为：，焦点，准线l：. 因为焦点F关于准线的对称点为， 所以，解得：， 所以所求抛物线的标准方程为：. （2）由题意可设抛物线的标准方程为：， 因为直线与抛物线相交所得线段的长为12， 所以点在抛物线上，代入得：，解得：， 所以所求抛物线的标准方程为：. （3）由题意可设抛物线的标准方程为：或， 当焦点在x轴正半轴上时，    因为△MNF为等边三角形，且， 则，即p=3， 所以抛物线的标准方程为：. 同理可求，当焦点在x轴负半轴上时，抛物线的标准方程为：. 题型3：定义的应用 例3 （1）．若坐标原点到抛物线 的准线的距离为 ，则 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由题意得，抛物线的标准方程为， 则抛物线的准线方程为， 又由原点到准线的距离为，则，解得，故选A． （2）过抛物线的焦点的弦AB中点的横坐标为3，则 . 【答案】10 （3）．是抛物线上一点, 是抛物线的焦点, 为坐标原点着是抛物线的准线与轴的交点,则 ． 【答案】 【详解】分析：设，得，所以，由向量的夹角公式可求. 详解：由抛物线的对称性不妨设，则，得， 因为，所以，可得， ，所以. 题型四：焦点弦、通径 例4 （1）设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，则 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：由题意，得．又因为，故直线AB的方程为，与抛物线联立，得，设，由抛物线定义得， ，选C． （2）．若抛物线上一点到其焦点的距离为10，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由抛物线的标准方程可得其准线方程为，设点P的坐标为， 由抛物线的定义有：，结合抛物线方程可得：， 据此可得点的坐标为. 本题选择C选项. 题型五：最值问题 例5．点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到直线的距离之和的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值即可． 【详解】依题设P在抛物线准线的投影为P'，抛物线的焦点为F，A（0，-1）． 则F（1，0）， 依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP'|=|PF|， 则点P到点A（0，-1）的距离与P到该抛物线准线的距离之和， d=|PF|+|PA|≥|AF|=． 故答案为： （2）．已知为抛物线的焦点，为此抛物线上的点，且使的值最小，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】根据抛物线的方程算出焦点为,准线l的方程为:.利用抛物线的定义与平面几何知识,可知当且仅当点M,N,P共线时,有最小值,进而可求出M的坐标. 【详解】抛物线为, ,得,可得焦点为,准线l的方程为:. 过点M作,垂足为N,则 根据抛