第十三章 全等三角形 专项拓展训练（三） 2023-2024学年冀教版数学八年级上册

《第十三章　全等三角形》专项拓展训练（三） 专项一 全等三角形的六大常考模型 类型1 平移模型 1.已知:如图,点C为AB的中点,CD=BE,AD=CE.求证:△ACD≌△CBE. 2.如图,点B,C,E,F在同一直线上,BC=EF,AC⊥BC于点C,DF⊥EF于点F,AC=DF. 求证:(1)△ABC≌△DEF; (2)AB∥DE. 类型2 对称(翻折)模型 3.如图,已知AB=DC,AC=DB,BE=CE.求证:AE=DE. 4.如图,在四边形ACBD中,点P在对角线AB上,连接PC,PD.已知∠1=∠2,∠3=∠4. 求证:(1)△BDP≌△BCP; (2)AD=AC. 类型3 自旋转模型 5.如图,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB.若AB=4,CF=3,则BD的长是 (　　) A.0.5 B.1 C.1.5 D.2 6.如图,已知AB=AE,AB∥DE,∠ECB=70°,∠D=110°,求证:△ABC≌△EAD. 7.已知,如图,点A,D,C,B在同一条直线上,AD=BC,AE=BF,CE=DF.求证:AE∥FB. 类型4 手拉手模型 8.如图,∠BAE=∠CAF=90°,EC,BF相交于点M,AE=AB,AC=AF. (1)求证:EC=BF. (2)求证:EC⊥BF. (3)若∠BAE=∠CAF=m°(m≠90),则(1)(2)中的结论还成立吗?请说明理由. 类型5 半角模型 9.(1)如图1,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,∠EAF=45°.求证:EF=BE+FD. (2)如图2,四边形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,点E,F分别在边BC,CD上,当∠EAF与∠BAD满足什么关系时,仍有EF=BE+FD?说明理由. 类型6 一线三等角模型 10.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E. (1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:①△ADC≌△CEB; ②DE=AD+BE. (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,直接写出DE,AD,BE之间的数量关系:　　　　. (3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE,AD,BE具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系,并加以证明. 专项二 全等三角形的构造方法 类型1 “倍长中线法”构造全等三角形 1.如图,AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD⊥AC,点M为BC的中点.求证:DE=2AM. 2.[2021河北邢台期中]某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动,请你来加入. 【探究与发现】 (1)如图1,AD是△ABC的中线,延长AD至点E,使ED=AD,连接BE.证明:△ACD≌△EBD. 【理解与应用】 (2)如图2,EP是△DEF的中线,若EF=5,DE=3,设EP=x,则x的取值范围是　　　　　　　. (3)如图3,AD是△ABC的中线,E,F分别在AB,AC上,且DE⊥DF.求证:BE+CF>EF. 类型2 “截长补短法”构造全等三角形 3.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=2∠B,试判断AB,AC,CD三者之间的数量关系,并说明理由. 4.如图,在△ABC中,∠A=60°,BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB,BD,CE交于点O.试判断BE,CD,BC之间的数量关系,并说明理由. 参考答案 专项一 全等三角形的六大常考模型 1.【解析】　∵点C是AB的中点,∴AC=CB. 在△ACD和△CBE中, ∴△ACD≌△CBE(SSS). 2.【解析】　(1)∵AC⊥BC于点C,DF⊥EF于点F, ∴∠ACB=∠DFE=90°, 在△ABC和△DEF中, ∴△ABC≌△DEF(SAS). (2)∵△ABC≌△DEF, ∴∠B=∠DEF,∴AB∥DE. 3.【解析】　在△ABC和△DCB中, ∴△ABC≌△DCB(SSS),∴∠ABC=∠DCB. 在△ABE和△DCE中, ∴△ABE≌△DCE(SAS),∴AE=DE. 4.【解析】　(1)∵∠1+∠DPB=∠2+∠CPB=180°,∠1=∠2, ∴∠DPB=∠CPB. 在△BDP和△BCP中, ∴△BDP≌△BCP(ASA). (2)解法一　由(1)知,△BDP≌△BCP,∴DP=CP, 在△ADP和△ACP中, ∴△ADP≌△ACP(SAS),∴AD=AC. 解法二　由(1)知,△BDP≌△BCP,∴BD=BC, 在△ABD和△ABC中, ∴△ABD≌△ABC(SAS),∴AD=AC. 5.B　【解析】　∵CF∥AB,∴∠A=∠FCE,∠ADE=∠F.在△ADE和△CFE中,∴△ADE≌△CFE(AAS),∴AD=CF=3,∵AB=