4.3.2等比数列的前n项和公式（第1课时）（导学案）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

4.3.2等比数列的前n项和公式（第1课时）导学案 学习目标 1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用． 2.会用错位相减法求数列的和． 3．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题. 重点难点 1．教学重点： 掌握等比数列的前n项和公式及其应用，等比数列前n项和公式推导方法； 等比数列前n项和公式的推导(错位相减法）及简单应用。 2．教学难点 ： 等比数列前n项和公式推导方法（错位相减法）的理解。 会用错位相减法求数列的和，能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题. 课前预习 自主梳理 知识点一　等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和公式 Sn= Sn＝ 知识点二　等比数列前n项和的性质 1． 数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和， 则Sn，S2n－Sn， 仍构成等比数列． 2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋ (n，m∈N*)． 3．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和， 则：①在其前2n项中，＝q； ②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)． 自主检测 1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1) 求等比数列{an}的前n项和时，可直接套用公式Sn＝.(　 　) (2) 若首项为a的数列既是等比数列又是等差数列，则其前n项和等于na.(　 　) (3) 若a∈R，则1＋a＋a2＋…＋an－1＝.(　 　) (4) 等比数列前n项和Sn不可能为0.(　 　) (5) 若首项为a的数列既是等比数列又是等差数列，则其前n项和等于na.(　 　) (6) 若a∈R，则1＋a＋a2＋…＋an－1＝.(　 　) (7) 若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，则此数列一定是等比数列．(　 　) 2.等比数列中，，且前三项和为，则公比q的值是（    ） A．1 B． C．1或 D．－1或 3.在等比数列中，，则其前3项的和的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.已知正项等比数列中，为前n项和，，则（    ） A．7 B．9 C．15 D．30 5.已知为正项等比数列的前项和，，且，，成等差数列，则（    ） A．2 B． C． D．4 新课导学 学习探究 环节一 创设情境，引入课题 问题 1 ：相传国际象棋起源于古印度，是西萨发明的。国王要奖励西萨, 西萨说：“请在棋盘第1个格子里放1颗麦粒,在第2个格子里放2颗麦粒,在第3个格子里放4颗麦粒,在第4个格子里放8颗麦粒,依此类推,每个格子里放的麦粒数都是前一格子里所放麦粒数的2倍,直到第64个格子.请给我足够粮食来实现上述要求!”你知道西萨要多少粒小麦吗？国王能满足西萨的要求吗？ 国际象棋起源于古印度．相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么．发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求．”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．已知一千颗麦粒的质量约为40 g，据查，2016-2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言． 追问 1 把各格所放麦粒数看成一个数列,可以得到一个怎样的数列?能写出它的通项公式吗？ 让我们一起来分析一下．如果把各格所放的麦粒数看成一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总和就是求这个等比数列前64项的和． 追问 2 各格所放麦粒总数如何求？ 一般地，如何求一个等比数列的前n项和呢? 设等比数列的首项为，公比为，则的前n项和是 ． 探究1：这个和式右边任意相邻两项有何特点？ 根据等比数列的通项公式，上式可写成 ． ① 探究2：若在此等式两边同以，得到②式，比较①,②两式，你有什么发现？ 我们发现，如果用公比乘①的两边，可得 ② 探究3：两边同乘的2是等比数列的什么？乘2的作用是什么？ ①②两式的右边有很多相同的项，用①的两边分别减去②的两边， 追问 1 两个等式相减后，还剩下哪些项，相减后符号如何？ 就可以消去这些相同的项，可得，即 ． 追问2 由得到正确吗？ 因此，当时，我们就得到了等比数列的前项和公式 （1） 因为，所以公式（1）还可以写成 （2） 追问3若q=1，{an}是什么数列