4.3.2等比数列的前n项和公式（第1课时）（教学设计）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

4.3.2等比数列的前n项和公式（第1课时）教学设计 1、 课时教学内容 等比数列前n项和公式的推导及简单应用. 2、 课时教学目标 1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用． 2.会用错位相减法求数列的和． 3．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题. 3、 教学重点、难点 1．教学重点： 掌握等比数列的前n项和公式及其应用，等比数列前n项和公式推导方法； 等比数列前n项和公式的推导(错位相减法）及简单应用。 2．教学难点 ： 等比数列前n项和公式推导方法（错位相减法）的理解。 会用错位相减法求数列的和，能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题. 4、 教学过程设计 环节一 创设情境，引入课题 问题 1 ：相传国际象棋起源于古印度，是西萨发明的。国王要奖励西萨, 西萨说：“请在棋盘第1个格子里放1颗麦粒,在第2个格子里放2颗麦粒,在第3个格子里放4颗麦粒,在第4个格子里放8颗麦粒,依此类推,每个格子里放的麦粒数都是前一格子里所放麦粒数的2倍,直到第64 个格子.请给我足够粮食来实现上述要求!”你知道西萨要多少粒小麦吗？国王能满足西萨的要求吗？ 国际象棋起源于古印度．相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么．发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求．”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．已知一千颗麦粒的质量约为40 g，据查，2016-2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言． 追问 1 把各格所放麦粒数看成一个数列,可以得到一个怎样的数列?能写出它的通项公式吗？ 让我们一起来分析一下．如果把各格所放的麦粒数看成一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总和就是求这个等比数列前64项的和． 追问 2 各格所放麦粒总数如何求？ 一般地，如何求一个等比数列的前n项和呢? 设等比数列的首项为，公比为，则的前n项和是 ． 探究1：这个和式右边任意相邻两项有何特点？ 引导、启发学生观察，寻求等式规律，每一项都乘以，就变成了它的后一项. 根据等比数列的通项公式，上式可写成 ． ① 探究2：若在此等式两边同以，得到②式，比较①,②两式，你有什么发现？ 引导学生经过比较后发现：①,②两式有若干相同项，可两式相减求. 我们发现，如果用公比乘①的两边，可得 ② 探究3：两边同乘的2是等比数列的什么？乘2的作用是什么？ 两边同乘的是等比数列的公比，乘后所得新等式与原式有n-1项相同，两式相减可消去相同项，突破难点。 ①②两式的右边有很多相同的项，用①的两边分别减去②的两边，追问 1 两个等式相减后，还剩下哪些项，相减后符号如何？ 就可以消去这些相同的项，可得，即 ． 追问2 由得到正确吗？ 因此，当时，我们就得到了等比数列的前项和公式 （1） 因为，所以公式（1）还可以写成 （2） 追问3若q=1，{an}是什么数列，前项和等于什么？ 引导学生对q进行分类讨论。 当时，等比数列的前项和等于多少? 公式分析 (1)知三求二：n q a1 an Sn (2)n的含义：项数 (3)注意对q分类讨论 (4)错位相减法：乘公比（作用是构造相同项）后错开一项再相减。 有了上述公式，就可以解决本小节开头提出的问题了． 由，，可得 ． 这个数很大，超过了．如果一千颗麦粒的质量约为40g，那么以上这些麦粒的总质量超过了7000亿吨，约是2016—2017年度世界小麦产量的981倍．因此，国王根本不可能实现他的诺言． 环节二 观察分析，感知概念 例7 已知数列是等比数列． （1）若，，求； （2）若，，，求； （3）若，，，求． 对于等比数列的相关量，，，，，已知几个量就可以确定其他量? 解：（1）因为，，所以 ． （2）由，，可得 ． 即 ． 又由，得 ． 所以 ． （3）把，，，代入，得 ． 整理，得 ． 解得 ． 【设计意图】已知前n项和会合理选择公式逆向求解数列基本量，进一步理解公式特点，深化对公式的理解和应用。 环节三 抽象概括，形成概念 例8 已知等比数列的首项为，前项和为．若，求公比． 解：若，则 ． 所以 ． 当时，由，得 ． 整理，得 ． 即 ． 所以 ． 解法二： ， 所以，所以． 【设计意图】等比数列前n项和公式的灵活应用，一题多解有利于提高学生思维的深度和灵活性； 环节四 辨析理解 深化概念 例9已知等比数列的公比，前项和为．证明，，成等比数列，并求这个数列的公比． 证明：当时， ， ， ， 所以，，成等比数列，公