精品解析：上海市嘉定区第一中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷

2023学年度嘉定一中高三年级第一学期期中考试 数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果. 1. 已知集合，集合，则______. 2. 已知i为虚数单位，且，则复数z虚部为___________. 3. 已知不等式的解集为，则值为______. 4. 已知平面上两单位向量，，，则在上的数量投影为______. 5. 若，则______. 6. 在二项式的展开式中，系数为无理数的项的个数是______个. 7. 函数，满足，当，，则______. 8. 中国一带一路成果丰硕，2013年我国在印尼投资有2.8亿美元，仅排列外资中的第12位.10年后的今天，我国在印尼全年投资已达86亿美元.若假设中国从2013年开始投入印尼的资金逐年成等差数列增长，则从______年后开始，全年投入印尼资金达100亿美元，中国将成为外国直接投资的最大贡献者. 9. 若矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，求圆柱侧面积的最大值为____． 10. 已知项数为的等差数列满足，.若，则的最大值是______. 11. 据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为.现已知相距18km的，两家化工厂（污染源）的污染强度分别为，，它们连线段上任意一点处的污染指数等于两化工厂对该处的污染指数之和.设.若，且时，取得最小值，则的值为______. 12. 设圆，直线过，斜率为，且与圆交于，两点.若线段上任意一点，均存在过两条相互垂直的弦与，使得.则的最小值为______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，只需将正确选项写在相应题号的空格上. 13 已知方程，.若，则方程有（ ）解 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1个或2个 14. 下列函数在定义域中既是奇函数又是减函数的是（ ） A. B. C D. 15. 已知等比数列的公比为q且，记、则“且”是“为递增数列”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 16. 已知均为正数，并且，给出下列2个结论： ①中小于1的数最多只有一个； ②中最小的数不小于.则（ ） A ①对，②错 B. ①错，②对 C. ①，②都错 D. ①，②都对 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 在锐角中，角对应的边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若的面积，求的值. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点，为上一点，平面. （1）求证：为的中点； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 某校为了传承学校文化特色，成立2023学年上海市学生艺术团（培育团）戏剧分团，现从第一轮报名的100学生中进行考核，统计其第一轮考核评分数据，将所得100个评分数据分为8组：、、…、，并整理得到如下的频率分布直方图. （1）用分层抽样的方式从评分不小于90分的考生中随机抽取5人作为样本，设为评分在区间内的考生人数，求的值； （2）若从（1）得到的样本中随机抽取2人，求这两人的评分都在区间的概率. 20. 已知椭圆的离心率为，焦距为2，过的左焦点的直线与相交于，两点，与直线相交于点. （1）求椭圆方程； （2）若，求证：； （3）过点作直线的垂线与相交于，两点，与直线相交于点.求的最大值. 21. 已知函数，. （1）求曲线在处的切线方程； （2）若在区间上单调递减，求的取值范围： （3）若，存在两个极值点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年度嘉定一中高三年级第一学期期中考试 数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果. 1. 已知集合，集合，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据交集的定义计算可得. 【详解】因为集合，集合， 所以. 故答案为： 2. 已知i为虚数单位，且，则复数z的虚部为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意先求得复数后再求出复数的虚部即可． 【详解】∵， ∴， ∴复数z的虚部为． 故答案为：. 【点睛】易错点睛：本题考查复数的除法运算和复数模的概念，正确求出复数z是解题的关键，另外还要注意复数的虚部是，而不是，这是解题中常出现的错误． 3. 已知不等式的解集为，则值为______. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得为方程的根