专题04 三角形的七大全等模型（压轴专练） 2023—-2024学年人教版八年级数学上册期末综合复习专题提优训练

专题04 三角形的七大全等模型（压轴专练） 目录 【题型一 手拉手模型】 1 【题型二 半角模型】 2 【题型三 对角互补模型】 3 【题型四 三垂直模型】 5 【题型五 一线三等角模型】 6 【题型六 雨伞模型】 7 【题型七 胖瘦模型】 8 【题型一 手拉手模型】 模型一：手拉手模型 （一）有公共顶点的等边三角形 （二）有公共顶点的等腰直角三角形 （三）顶角相等的等腰三角形 例题：（1）如图1，已知△CAB和△CDE均为等边三角形，D在AC上，E在CB上，易得线段AD和BE的数量关系是　 　． （2）将图1中的△CDE绕点C旋转到图2的位置，直线AD和直线BE交于点F． ①判断线段AD和BE的数量关系，并证明你的结论； ②图2中∠AFB的度数是　 ． （3）如图3，若△CAB和△CDE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°，AB＝BC，DE＝EC，直线AD和直线BE交于点F，分别写出∠AFB的度数，线段AD、BE间的数量关系． 【题型二 半角模型】 模型二： 半角模型 （一）等边三角形中120含60半角模型 （二）等腰直角三角形中90含45半角模型 例题：如图1，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，AC，BD相交于点O． (1)求边AB的长； (2)求∠BAC的度数； (3)如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF．判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由． 【题型三 对角互补模型】 模型三： 对角互补模型 （一）“共斜边等腰直角三角形＋直角三角形”模型（异侧型） 已知直角△ABC和等腰直角△DBC，则AB＋AC＝AD． （二）“共斜边等腰直角三角形＋直角三角形”模型（同侧型） 已知直角△ABC和等腰直角△DBC，则AB－AC＝AD． （三）“等边三角形对120°模型”． △ABC是等边三角形，∠BPC＝120°，则有PB＋PC＝PA； （四）“120°等腰三角形对60°模型” △ABC是等腰三角形，且∠BAC＝120°，∠BPC＝60°，则有PB＋PC＝PA； 例题：如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，直线MN是过点A的直线CD⊥MN于点D，连接BD． （1）观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC，AD，BD之间有什么数量关系．经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点B作BE⊥BD，交MN于点E，进而得出：DC+AD=　　BD． （2）探究证明 将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC，AD，BD之间的数量关系，并证明 （3）拓展延伸 在直线MN绕点A旋转的过程中，当△ABD面积取得最大值时，若CD长为1，请直接写BD的长． 【题型四 三垂直模型】 模型四： 三垂直模型 例题：如图，AB＝BC， AB⊥BC， AE⊥BD于F，BC⊥CD， 求证：EC＝AB－CD． 【题型五 一线三等角模型】 模型五： 一线三等角模型 题型特征：图形的某条线段上出现三个相等的角，如图中∠B＝∠2＝∠C 解题方法：只要题目再出现一组等边（BE＝AC或EF＝AE或BF＝EC），必证△BEF≌△CAE（AAS或ASA） 证明过程：∵∠1＝180°－∠2－∠3，∠4＝180°－∠C－∠3，∵∠2＝∠C，∴∠1＝∠4，∵∠B＝∠C，若BE＝AC或EF＝AE或BF＝EC，则△BEF≌△CAE（AAS或ASA） 例题：如图，在ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E． （1）当∠BDA=115°时，∠EDC=______°，∠AED=______°； （2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由． 【题型六 雨伞模型】 模型六： 雨伞模型 模型讲解 【结论】如图，是的平分线，，垂足为O，延长交于点D，则，． 【证明】根据题意得，在与中， ， ． 例题： 已知，如图中，，，的平分线交于点，， 求证：. 【题型七 胖瘦模型】 模型七： 边边角模型（胖瘦模型） 胖瘦模型——两条边对应相等，一组角对应相等，两个角互补． 模型讲解 【模型】如图所示，在等腰中，，点P在线段上且P不是的中点． 【结论1】（变胖）如图所示，在上截取，连接，． 6 【结论2】（变瘦）如图所示，在上截取，连接，． 【结论3】如图所示，过点A作，垂足为． 【总结】两个三角形满足两条边对应相等，并且其中一条边的对角相等，满足的条件为． 处理方法： 1 变胖（