1.5 三角函数的应用（同步课件）-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

北师大版 数学 九年级下册 第一章 直角三角形的边角关系 5 三角函数的应用 学习目标 1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用，发展数学应用意识和解决问题的能力.（重点） 2.灵活地将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并选择适当的三角函数来解决.（难点） 如图:点A在O的北偏东 °，点B在点O的南偏西 °(西南方向). 复习回顾 1.解直角三角形需要满足的条件： 在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，至少知道其中的 个元素(至少有一个是 )后，就可求出其余的元素． 两 边 2.指南或指北的方向线与目标方向线构成小于90°的角叫做方位角。 3.当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为 ；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为 . 30 45 仰角 俯角 北 东 30° 45° 西 南 A O B 一、创设情境，引入新知 我们已经知道轮船在海中航行时，可以用方位角准确描述它的航行方向. 那你知道如何结合方位角等数据进行计算，帮助轮船在航行中远离危险吗？ 泰坦尼克号 求AD，但在Rt△ACD和Rt△ABD中，都只有一个角的条件，因此这两个三角形都不能解，所以要用方程思想，先把两个三角形的公共边AD看成已知，用含AD的代数式表示BD和CD，由BC＝20n mile建立关于AD的方程，从而求得AD. 二、自主合作，探究新知 探究一：应用三角函数解决与方位角有关的实际问题 B A C D 东 北 如图，海中有一个小岛A，该岛四周10n mile内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20n mile后到达该岛的南偏西25°的C处。之后，货轮继续向东航行. 【分析】这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C到AB航线的距离AD是否大于 10 n mile.若AD＞ 10 n mile，则不会有触礁危险，否则有危险. 问题：你认为货轮继续向东航行会有触礁的危险吗？你是怎样想的？ 55° 25° 20n mile 如何求AD的长呢？ 二、自主合作，探究新知 过点A作AD⊥BC于点D,设AD= x , 解得 所以，这船继续向东航行没有触礁的危险. ∵BC=BD-CD x 解： 根据题意可知，∠BAD=55º，∠CAD=25º，BC= 20n mile. ∴ ∴ ∴x·tan55°-x·25°=20 则在Rt△ABD中，tan∠BAD=， 在Rt△ACD中，tan∠CAD=， B A C D 东 北 55° 20n mile 25° 可借助计算器求解 探究二：应用三角函数解决与仰角俯角有关的实际问题 想一想：如图，小明想测量塔CD的高度．他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50 m至B处，测得仰角为60°，那么该塔有多高？（小明的身高忽略不计，结果精确到1 m） 二、自主合作，探究新知 分析：求CD，无论是在Rt△ACD中，还是在Rt△BCD中，只有一个角的条件，因此这两个三角形都不能解，所以仍要用方程思想，先把CD看成已知，用含CD的代数式表示AC和BC，由AB＝50m建立关于CD的方程，从而求得CD. 30° 60° 50m 二、自主合作，探究新知 30° 60° 50m x 解:如图,根据题意可知,∠A=30º, ∠DBC=60º,AB=50m. 设CD=x, 所以，该塔约有43m高. ∵AB=AC-BC 则在Rt△ACD中，tanA=， 在Rt△BCD中，tan∠DBC=， ∴AC== ∴BC= ∴=50， 解得x=25(m) 二、自主合作，探究新知 探究三：应用三角函数解决与倾斜角有关的实际问题 做一做：某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的40°减至35°,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m). B A D C ┌ 4m 35° 40° 分析：如图，①求调整后的楼梯会加长多少，即求 ； ②求楼梯多占多长一段地面，即求 . AB-BD AD 在Rt△BCD中，已知一边和一角，可以求出BC、CD的长，进而在Rt△ABC中求出AB、AC，进而求出AB-BD和AD. 如何求AB、AD的长呢？ 二、自主合作，探究新知 B A D C ┌ 4m 35° 40° 解:①如图,根据题意可知,∠A=35°,∠BDC=40°, DB=4m. 在Rt△BCD中，sin∠BDC， ∴BC=BDsin40°=4sin40°， 在Rt△ABC中，sinA, ∴AB（m）， ∴AB-BD-4=0.48（m