4.2.2等差数列的前n项和公式课件（1）-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.2等差数列的前n项和公式(1) 1 学习目标： （1）经历探索等差数列前n项和的过程，类比推理得出等差数列前n项和公式，培养逻辑推理素养； （2）通过例题的运算，学会运用等差数列的前n项和公式解决一些简单的数学问题，提升数学运算素养； （3）通过等差数列前n项和公式的推导和公式的简单运用，体会从特殊到一般的思想方法，提高分析问题、解决问题的能力. 【问题1】前面我们学习了等差数列，等差数列的研究路径是什么？ 【追问】如何研究等差数列的性质？ 背景——定义——表示——性质——应用. 研究数学对象的性质就是研究它的组成要素、相关要素之间的关系，等差数列的定义和性质都是通过“运算”得出的. 本节课继续用运算来研究等差数列的重要性质——等差数列前n项和公式. 问题情境 印度泰姬陵(Taj Mahal)是世界七大建筑奇迹之一，传说当时陵寝中有一个等边三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层(如下图)．你知道这个图案中一共有多少颗宝石吗？ 问题2：这其实就是我们所熟悉的高斯算法的故事，高斯是如何快速求出1+2+3+4+…+100的和的？ S100=1+2+3+4+…+100=？ 等差数列1，2，···，n，···的前100项和 1+100=101 2+99 =101 3+98 =101 50+51 =101 =50 ×101=5050 计算：S100=1+2+3+4+…+100=？ 高斯 Gauss.C.F （1777~1855） 高斯, 德国数学家. 与阿基米德, 牛顿并称为历史上最伟大的数学家, 有“数学王子”之称. a1+a100=101 a2+a99 =101 a3+a98 =101 a50+a51=101 =50 ×101=5050 S100=(a1+a100)+ (a2+a99) +…+ (a50+a51) an=n 首尾配对法 通过配对凑成相同的数，变“多步求和”为“一步相乘”，即将“不同数的求和”转化为“相同数的求和” 【追问1】高斯在求和过程中利用了数列的什么性质？ 【追问2】高斯求和法的实质是什么？ 将100个不同的数的求和通过配对转化成了50个相同的数的求和，变“多步求和”为“一步相乘”，即化“不同数的求和”为“相同数的求和”. 【追问3】你能用这种方法求数列 的前101项和吗？ 【问题3】你能用上述方法求数列 的前n项和吗？ 【追问1】在对项数n分奇偶讨论求和的过程中，遇到的难点是什么？ 【追问2】如何确定中间的项？ 【问题4】在求前n个正整数的和时，对n分奇数、偶数进行讨论得到的结果是一样的，那么怎样避开分类讨论实现“配对”，将“不同数的求和”化归为“相同数的求和”呢？ “奇数加奇数、偶数加偶数”都可以变成偶数，根据这个性质让它自己和自己配对. 倒序相加法 Sn= a1 + a2 + … + an-1 + an Sn= an + an-1 + … + a2 + a1 【问题5】你能将上述方法推广到求等差数列 的前n项和吗？ 【追问1】等差数列前n项和公式有什么特点？ 只要知道首项和末项就可以求得前n项和. 用首末两项的平均数代替原来的每一个数，从而将加法简化为乘法. 就是等差数列前n项的平均数的n倍. 这也是等差数列的前n项和公式的另一种形式. 也可以通过 转化为基本量a1和d 利用求和公式和每项具体化 【追问2】只要知道等差数列的首项和公差，数列就完全确定了，那么你能根据等差数列的首项和公差得到它的前n项和公式吗？ 【问题6】根据前面的推导过程，你能说出等差数列 的前n项和公式与梯形的面积 公式有什么联系吗？ 方程思想 　 在研究等差数列时，对“知三求二”的问题，一般是转化为基本量（首项、公差）和方程（组)的思想．这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及方程思想、转化思想的运用． 课堂小结 $$