4.2.1等差数列的概念(1) 导学案-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

1.【学习内容分析】 本单元的学习建立在已经学习的函数和数列基础知识上，是对数与数之间的关系做进一步的拓广和深入研究.等差数列是本章重点研究的两种数列模型之一，通过本单元内容的学习，学生能更深入地了解前面所学的数列概念，更好地体会数列是一种特殊函数，学习等差数列的思想方法也为将来学习等比数列奠定了基础，具有承前启后的作用. 2.【学习目标】 (1)通过等差数列概念的形成，能够描述等差数列的定义，会用定义判断一个数列是否为等差数列； (2)通过等差数列通项公式的推导，经历提出猜想到推理论证的过程，体会从特殊到一般的思想及方程思想，发展数学抽象、逻辑推理等核心素养.； (3)通过对比等差数列与一元一次函数，感受数列与函数的共性与差异，体会数学的整体性. 3.【学习重、难点】 教学重点：等差数列定义及通项公式，用累加法进行证明. 教学难点：等差规律的符号化表达，等差数列通项公式的推导. 4.【知识准备】 学生需要知道数列的相关概念，能够通过通项公式和递推公式表示数列. 前测 1．数列的定义 （1）按照一定 排列的一列数称为数列，数列中的每个数叫作这个数列的项. （2）项数有限的数列叫作 ，项数无限的数列叫作 . （3）数列的一般形式可以写成：，简记为 ，其中称为数列的第1项或首项，称为第2项，，称为第项. 2．数列的前项和 （1）对于数列，我们称 叫作数列的前项和，记为. （2）若已知数列的数列的前项和，则 3．数列的性质 （1）对于数列，如果存在正整数，使得任意，总有 ，则称为数列的周期，数列叫作周期数列； （2）对于数列，如果任意，总有 ，则称为单调增数列；如果任意，总有 ，则称为单调减数列. 4．数列的递推公式 如果已知一个数列的第1项或（前几项），且任一项与 间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作这个数列的递推公式. 5．数列的通项公式 （1）一般地，如果数列的 与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式. （2）数列可以看成一类特殊的函数，其定义域为 . （3）数列的图象是 . 5.【知识输入】 任务一 创设情境，引入等差数列概念 引导语：类比函数的研究过程，在了解完数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列.下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手. 【问题1】观察下面几个数列，你能发现它们的取值规律吗？ (1)北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内向外各圈的石板数依次为 9，18，27，36，45，54，63，72，81．① (2)S，M，L，XL，XXL，XXXL 型号的服装上衣对应的尺码分别是： 38，40，42，44，46，48． ② (3)测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为 25，24，23，22，21． ③ (4)某人向银行贷款万元，贷款时间为年.如果个人月贷款利率为，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金万元，每月支付给银行的利息（单位：万元）依次为： ，，，，…. ④ 6. 【知识加工】 任务一 创设情境，引入等差数列概念 追问1：这几组数各自有什么特点？又有什么共同特征？ 追问2：若将固定常数用表示，可否用符号语言表示后一项与前一项间的关系？ 追问3:能否概括出这种特征?请完整表述，从第几项起有这样的特征. 【问题2】具有上述变化规律的数列叫做等差数列，能否给出等差数列的概念? 一般地，如果一个数列从 起，每一项与 的差都等于同一个常数，就称这个数列为 ，这个 就称为等差数列的公差，用 来表示. 追问1：定义中的被减数和减数分别是什么？公差的取值范围是什么？ 追问2：公差可以是0吗？ 追问3：能否用符号语言表示等差数列的定义？ 追问4：比较与，两种表述方式的异同？ 引导语：其实等差数列是数学史上最早出现并引起人们广泛应用的数列.例如，1858年，苏格兰收藏家收藏的约公元前1650年的阿莫斯纸草上就记载着等差数列.我们来看一下，10人分10斗玉米，从第二个人开始，各人所得依次比前一个人少斗，那么每人所分得的玉米数就构成了等差数列.如果按从大到小的顺序来看，这个数列的公差是.再如，在我国出土的春秋至战国时期楚国的铜环权，其重量大致按等差数列配置.又如成书于公元前2世纪的《周髀算经》中将日行轨道按照季节划分为七个同心圆，被称为“七衡图”，每个同心圆的直