4.1 数列的概念（2）教学设计-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

教学设计 课题 4.1 数列的概念(2) 课型 新授课 一、教学内容及其解析 1.内容 本课选自人教A版高中数学选择性必修二第四章第1节《数列的概念》第2课时,本节课是在学习了数列的概念以及通项公式的基础上,进一步学习数列所特有的递推公式、前项和公式的定义,探究数列的前项和公式与通项公式之间的关系. 2.内容解析 内容的本质: 通项公式,递推公式、前项和公式是刻画数列规律的三种主要方式.数列的通项公式就是数列作为函数的函数解析式,它能简洁、精确地刻画数列所有项的取值规律.数列的递推公式是数列的相邻两项或多项之间关系的表达,它不仅能揭示数列的特征,也是反映自然规律的基本模型,更是体现化归与转化数学思想的载体.数列求和是数列的独特研究内容,与现实生产生活联系紧密,自古以来都是人们感兴趣的话题.数列的递推公式、前项和公式是数列所特有的公式,它们需要利用运算、代数变换等策略或方法进行探究. 蕴含的数学思想和方法:在数列的递推公式的探究过程中,学生借助运算发现规律的过程,蕴含了化归与转化以及递推的思想方法.类比递推公式中通过运算发现规律的方法,通过减法运算发现数列的前项和与通项公式之间的关系,蕴含了类比的思想方法.在数列的通项公式、递推公式、前项和公式的理解与应用的过程中会用到函数思想、方程思想. 知识的上下位关系:本节课的内容起着承上启下的作用.一方面,在数列的表示方法的归纳提炼及其具体问题的解决过程中常会用到函数思想,通过学习数列能进一步加深对函数的认识,深化对函数思想方法的运用;另一方面,利用运算发现数列的相邻两项或多项之间关系的方法是研究等差数列(通过减法运算发现“差相等”)、等比数列(通过除法运算发现“比值相等”)的基础.前项和公式是等差数列、等比数列的重要研究内容.同时,通过这部分内容的学习,可以使学生强化运算能力、提升分析归纳能力. 育人价值:通过对谢尔宾斯基三角形、毕达哥拉斯学派的三角形数、正边形数等的学习与探究,一方面,学生可以了解数学文化,感受数学的结构美、理性美,陶冶学生的情操.另一方面,学生可以领悟数形结合、递推思想,培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养. 教学重点:数列的递推公式、数列的前项和公式 二、学情分析 学生对函数有一定的认知基础和经验,具备一定的抽象概括、类比迁移、归纳演绎等能力.学生已经学习了数列的概念、数学的通项公式,理解数列是一种特殊的函数,并初步形成了研究数列的一般思路和方法.学生虽然有在指数函数的学习中通过运算发现两地旅游人数的变化规律的经验,但学生缺少比较完整的发现规律、整理规律和表达规律的经验. 三、教学目标及其解析 目标: (1)通过观察谢尔宾斯基三角形中着色三角形个数的变化规律,利用运算探究数列相邻两项的规律,经历观察、归纳、抽象概括的过程,得到数列递推公式的定义,会利用数列的首项或前几项以及递推公式,表示出数列的前几项. (2)根据数列前项和的定义,类比递推公式的推导方法,经历由特殊到一般的过程,发现数列的前项和与通项公式之间的关系:,并且会根据数列的前项和公式求该数列的通项公式. (3)经历数列的递推公式以及前项和公式与通项公式之间关系的推导过程,体会利用运算探究数列规律的一般方法,提升数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养. 目标解析: (1)能在毕达哥拉斯学派的三角形数、正方形数以及谢尔宾斯基三角形的具体情境中,抽象出具有递推规律的数学表达式,说出数列递推公式的定义,会根据数列的递推公式表示出数列的前几项. (2)能在具体的问题情境中,说出前项和的定义,结合通项公式与前项和公式的定义,会推导出通项公式与前项和之间的关系,能根据数列前项和公式求通项公式. (3)体会数列的递推公式与通项公式的区别与联系,体会利用运算探究数列规律的一般方法,提升数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养. 四、教学问题诊断分析 递推公式、前项和公式是数列所特有的,需要借助代数运算发现规律,表达规律.归纳出像、这种表示递推关系的符号表达,对学生来说存在困难. 递推公式、通项公式、前项和公式之间的转化与联系以及灵活应用,对学生而言也是一个难点. 在教学中,通过谢尔宾斯基三角形、毕达哥拉斯学派的三角形数等丰富有趣的数学史中的例子,让学生经历直观感知规律、运算发现规律、数学表达规律的过程,积累比较完整的发现规律、整理规律和表达规律的数学活动经验.在教学中,创设情境,让学生在生活情景、文化情境中感知递推公式和通项公式是表示数列的不同方法,借助信息技术动态展示数列中的项的变化过程,加深学生对递推规律的理解与认识. 难点:借助运算发现、表达数列各项之间的关系,得到数列的递推公式的过程 五、教学支持条件分析 为了加强学生对通项公式、递推公式、前项和公式的整体感受,借助信息技术,动态演示谢尔宾斯基三角形的