4.1 数列的概念课件 （2）-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章 数列 4.1 数列的概念（2） 1 数列 概念 前n项和 表格 图像 通项公式 递推公式 表示 一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列， 数列中的每一个数叫做这个数列的项.其中第1项也叫做首项. 如果数列的第项与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 显然，通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项. 2 【学习目标】 （3）体会利用运算探究数列规律的方法，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养. （1）观察谢尔宾斯基三角形中着色三角形个数的变化规律，利用运算探究数列相邻两项的规律，经历观察、归纳、抽象概括的过程，得到数列递推公式的定义，会利用数列的首项以及递推公式，表示出数列的前几项. （2）根据数列前项和的定义，类比递推公式的探究方法，经历由特殊到一般的过程，发现数列的前项和公式与通项公式之间的关系：，并且会根据数列的前项和公式求该数列的通项公式. 3 （一）创设情境、引入新知 4 正方形数所构成数列中：项为序号的平方，即通项公式为 三角形数所构成的数列的项与序号的关系不明显，但是可以从相邻两项的变化规律进行描述. 借助运算，发现相邻两项之间的变化规律，表示数列 （二）观察分析 感知概念 问题1 图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形，其构造过程为：取一个实心着色正三角形，挖去一个“中心三角形”（以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的其余小三角形中再分别挖去一个“中心三角形”. 若用白色三角形表示挖去的三角形，那么剩下的就是着色三角形，也称“谢尔宾斯基三角形”.在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项．写出这个数列的一个通项公式. 6 1 3 9 27 ？ 追问1.1观察谢尔宾斯基三角形中着色三角形的个数，写出该数列 的前四项，并猜想这个数列的一个通项公式. ？ 通项公式 直观感知 猜想 7 追问1.2 观察相邻两个图案中着色三角形的个数，你有什么发现？ ？ 每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形 个数的3倍. 每个图形中着色三角形都在下一个图形中分裂为3个着色小 三角形和1个无色小三角形. 8 追问1.2 观察相邻两个图案中着色三角形的个数，你有什么发现？ ？ 追问1.3 如何用数学语言表示相邻两项之间的这个规律呢？ 9 追问1.2 观察相邻两个图案中着色三角形的个数，你有什么发现？ ？ 从第二项起 10 1 3 9 27 通项公式 递推关系 11 通项公式 前几项与 序号的关系 猜想 递推关系 相邻两项之间的关系 逻辑推理 谢尔宾斯基三角形 12 图形角度： 函数角度： 是“爆炸式”增长的指数函数， 13 （三）抽象概括 形成概念 14 追问2.1 你能表示出三角形数所构成的数列吗？ （四）辨析理解 深化概念 16 17 18 19 20 （五）概念应用，巩固内化 21 【分析】已知数列的首项和递推关系式，求数列的前几项，了可以利用首项和递推关系式依次确定数列的各项. 22 【分析】已知数列的前项和公式，可以借助, 求数列的通项公式. 23 24 （五）归纳总结,反思提升 25 26 3.思想方法： 通过运算发现规律的思想、递推思想、函数思想、方程思想、 27 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称第二行的1，4，9，16称为正方形数.能否用公式表示出三角形数、正方形数所构成的数列呢？ ， ， ， , ， ， ， ， 需从数列的第2项开始，即 . 追问1.5 由递推关系式 ，如何严谨地表示出谢尔宾斯基三角形所构成的数列呢？ 追问1.4 该数列的每一项都满足关系式 吗？ 追问1.6 通项公式 与公式 都能反映出谢尔宾斯基三角形的变化规律，这两种表示数列的方法有什么区别与联系？ 追问1.7 随着 的逐渐变大， 会如何变化呢？此时谢尔宾斯基三角形会呈现什么特征呢？ 像 这样，如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.知道了首项或者前几项，以及递推公式，就能求出数列的每一项. 问题2 如何定义一个数列的递推公式？ ， 探索数列的求和公式，曾是古代算学家非常感兴趣的问题，数列求和问题在现代生产、生活中也有着非常广泛的应用.我们把数列 从第1项起到第 项止的各项之和，称为数列 的前n项和，记作 ，即 . 解：（1）因为 ，所以 ， ， ， ， 由数列前 项和的定义，可知： ， ， 练习： 若数列 的通项公式为 . （1） 分别