4.1.1数列的概念（1） 导学案-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.1.1数列的概念（1） 1.【学习内容分析】 数列是一类特殊的函数，它是揭示自然规律的离散函数模型.本节通过对具体情境的分析，归纳出数列的概念，并抽象出数列的一般形式，，···，，….然后将数列的定义与函数概念建立联系，得到了数列是定义在正整数集(或是正整数集的有限子集)上的离散函数.类比函数的研究路径，介绍了数列的三种表示方法(表格、图象和通项公式)，其中通项公式就是数列的函数解析式，它能简洁、精确地刻画数列所有项的取值规律.本节的学习有利于学生在具体概念和原理的生成情境中，提高分析、概括、数学表达和辨析的能力，感悟、提炼思想方法，积累数学活动经验. 函数 连续型函数模型 离散型函数模型 幂、指、对函数 三角函数 数列 等差数列 等比数列 2.【学习目标】 （1）通过经历数列概念的抽象过程，体会“观察-比较-抽象-概括”的价值，发展学生发现问题和解决问题的能力，培养数学抽象的素养. （2）通过发现数列是一类特殊的函数，经历“定义—表示方法—性质”的知识生成过程，渗透类比迁移的数学思想； （3）通过观察、一一列举等方法由数列的前几项求数列的通项公式，会用数列的通项公式求数列的任意一项，发展数学运算与逻辑推理的素养. 3.【学习重难点】 学习重点：数列的概念、数列的通项公式. 学习难点：数列符号化表示（本质属性）：序号与数的关系；从函数角度认识数列 4.【知识准备】 认知准备：具备找规律的生活经验，经历过函数概念的生成过程和函数内容的研究方法，探求新知的研究路径. 前测：回忆已有认知，回答以下问题： 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中的第一行1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4 ，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数. 【问题1】请你分别写出三角形数、正方形数和五边形数所构成的数列的第5项. 【问题2】观察下列这组数的规律，你能完成填空吗？ 1，1，2，3，5，8，____，_____，…… 5.【概念的形成】 在现实生活和数学学习中，我们经常需要根据问题的意义，通过对一些数据按特定顺序排列的方法来刻画研究对象．例如： 1.王芳从1岁到17岁每年的身高依次排成一列数：75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168。 它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？ 2.在两河流域发掘的一块泥版上，有一列依次表示15天中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数： 5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240。 它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？ 3.的次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数：，，，，….你能仿照上面的叙述，说明这也是具有确定顺序的一列数吗？ 追问：请归纳出上面三个例子的共同特征 数列的概念： 问题1：1，3，5，7是一个数列，7，5，3，1也是一个数列，这两个数列是不是同一个数列？ 问题2：1，1，1，1，1…是不是一个数列？ 数列的符号表示： 问题3：在数列中，符号与所表示的意义是否相同？ 6.【概念的理解】 问题4：数列中的各项与各项序号k （k＝1，2，3，···，n，···）之间的对应关系是什么关系？ 追问：，，，，···，，…和，，，是同一个数列吗？能否从函数的角度解释一下？ 问题5：数列有哪些表示方法？ 如例1，它可以表示为表4.1-1.它的图象如图4.1-1所示. 表4.1-1 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 75 87 96 103 110 116 120 128 138 145 153 158 160 162 163 165 168 数列的通项公式： 问题6：类比函数的研究路径，数列有哪些性质？ 递增数列与递减数列： 追问:数列是否具有单调性？ 7.【概念的应用】 例1 根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象。 （1）； （2） 追问：你能判断（1）中数列的单调性吗？ 例2根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式： （1）1，，，，…；（通项公式不唯一） （2）2，0，2，0，…．变式练习：1，0，1，0，… 8.【反思与小结】 问题7：结合本节课的内容，回答以下问题： （1）什么是数列？数列的表示方法有哪些？ （2）研究数列的基本路径是什么？类比哪个知识点？ 数列的概念 具体实例 抽象 有穷数列和无穷数列 数列的符号化形式 数列与函数之间的关系 数列