4.4 对数函数（第三课时）——不同函数增长的差异课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.4对数函数 (3) 4.4.3 不同函数增长的差异 复习引入 x y O x y O ① ② ③ ④ ⑤ 指出下列函数 所对应的图象分别是哪一个？ 从上面这些函数的图象中我们可以直观地看到，虽然它们都是增函数，但它们的增长方式存在很大的差异。 事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映。 因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律。 下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异。 新知探究 选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间[0, +∞) 上的增长差异，你能描述一下指数函数增长的特点吗？ （采用由特殊到一般，由具体到抽象的研究方法） 不妨以函数y=2x与y=2x为例。 分析：在区间(-∞,0)上，指数函数y=2x值恒大于0，一次函数y=2x值恒小于0，所以我们重点研究在区间(0,+∞)上它们的增长差异。 利用信息技术，在同一直角坐标系内列表、描点作图如下： x y=2x y=2x 0 1 0 0.5 1.414 1 1 2 2 1.5 2.828 3 2 4 4 2.5 5.657 5 3 8 6 …… …… …… 观察两个函数图象，回答下面问题： 两个图象有几个交点吗？两个图象的位置关系如何变化？ 为了便于研究两个函数的图象关系，两坐标轴采用不同的单位长度。 观察两个函数图象可知： ①函数y=2x与y=2x有两个交点(1,2)和(2,4) ②在区间(0,1)上，函数y=2x的图象位于y=2x之上 ③在区间(1,2)上，函数y=2x的图象位于y=2x之下 ④在区间(2,3)上，函数y=2x的图象位于y=2x之上 当自变量x越来越大时，两个函数的图象如何变化？ 思考： 随着自变量取值越来越大，函数y=2x的图象几乎与x轴垂直，函数值快速增长，函数y=2x的增长速度保持不变，和y=2x的增长相比几乎微不足道。 虽然函数y=2x与y=2x在[0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在一个“档次”。随着x的增大，y=2x的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=2x的增长速度。 尽管在x的一定范围内，2x<2x，但由于y=2x的增长最终会快于y=2x的增长，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，恒有2x>2x. 归纳总结 一般地指数函数y=ax(a>1)与一次函数y=kx(k>0)的增长都与上述类似。即使k值远远大于a值，指数函数y=ax(a>1)虽然有一段区间会小于y=kx(k>0)，但总会存在一个x0，当x>x0时， y=ax(a>1)的增长速度会大大超过y=kx(k>0)的增长速度。 指数函数 一次函数 解析式 单调性 图象 (随x的增大) 增长速度 (随x的增大) 归纳总结 推广： y=ax(a>1) y=kx(k>0) 在[0，+∞)上单调递增 趋向于和x轴_____ 呈直线上升 y的增长速度越来越___ 呈“爆炸性增长” y的增长速度__ _ 总会存在一个x0，当x>x0时，__________ 垂直 快 不变 ax >kx 选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间（0, +∞） 上的增长差异，你能描述一下指数函数增长的特点吗？ 不妨以y=lgx和y= x为例。 分析： 在区间(-∞,0)上，对数函数y=lgx没意义，一次函数 值恒小于0，所以研究在区间(0,+∞)上它们的增长差异。 x y=lgx 0 不存在 0 10 1 1 20 1.301 2 30 1.477 3 40 1.602 4 50 1.699 5 60 1.778 6 …… …… …… 利用信息技术，在同一直角坐标系内列表、描点作图如下： 观察两个函数图象，回答下面问题： (1)两个图象有几个交点吗？ (2)两个图象的位置关系如何变化？ (3)两个图象的增长变化如何？ 在(0,x0),0.1x>lgx 在(x0,10),0.1x<lgx 在(10,+∞),0.1x>lgx x0 随着x的增大， 的图象离x轴越来越远，而函数y=lgx的图象越来越平缓，就像与x轴平行一样. 虽然函数y=lgx与 在(0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度存在明显差异. 观察两个函数图象可知： 在(0,+∞)上增长速度不变， y=lgx在(0,+∞)上的增长速度在变化. 问题探究 例如：lg10=1，lg100=2，lg1000=3，lg10000=