3.3幂函数的概念和性质课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.3 幂函数 练习、下列函数是幂函数的是（ ） （1）y=2x2；（2）y=x3+x；（3）y= 。 一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数. 注意: 幂函数中a的可以为任意实数. 例1.已知 解： 由题意得 是幂函数，求m，n的值. 解得 即 【明确】　y＝xa其特征底数为自变量x， 指数a为常数，且系数为1. 或 m=1, n=2 高中阶段主要研究这5个幂函数： 因为函数的奇偶性能够帮助我们完成左半平面内的图象，所以只需要研究它们在第一象限内的图象。 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x y -3 -2 -1 1 2 3 4 y=x y=x2 y=x3 y=x-1 y=x y=x y=x2 y=x3 y=x-1 y=x y=x y=x2 y=x3 y=x y=x-1 定义域 R R R [0,+∞) {x|x≠0} 值 域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 增 增 增 减 定 点 (0,0) (1,1) (0,0) (1,1) (0,0) (1,1) (0,0) (1,1) (1,1) 幂函数图象能过第四象限吗？ 提示：不能．对幂函数y＝xα而言，当x>0时，必有y>0，故幂函数图象不过第四象限. 幂函数图象在第一象限的分布情况： y=x y=x2 y=x3 y=x-1 y=x 0 x y 1 1 作直线x=a(a>1)，与幂函数y=xα的图象的交点越高，α的值越大。 a (1)α>1, 抛物线型(凹); (2)α=1, 上升的射线; (3)0<α<1, 抛物线型(凸); (4)α=0, 水平的射线; (5)α<0, 双曲线型; y=x0 练习、图中曲线是幂函数y=xα在第一象限的图象，已知α取 ， 四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α依次为（ ） 幂函数的性质 (1) 所有的幂函数在(0,＋∞)都 有定义,且图象都通过点(1,1)； (2) 当a＞0时,幂函数图象过原 点,且在[0,＋∞)上是增函数. 特别地： 当a>1时,幂函数的图象下凸; 当0<a<1时,幂函数图象上凸. 幂函数的性质 (4) 当a为奇数时,幂函数 为奇函数;当a为偶数时, 幂函数为偶函数． (3) 当a＜0时,幂函数图象在 (0,＋∞)上是减函数，在第一 象限内，当x从右边趋向于原 点时，图象在y轴右方无限地 逼近y轴,当x趋向于＋∞时,图 象在x轴上方无限地逼近x轴； 例2：证明函数f(x)= 在[0,+∞)上是增函数。 $$