5.2.3 简单复合函数的导数-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习课件PPT（人教A版）

5.2.3　简单复合函数的导数 数学 学习目标 1.了解复合函数的概念,达成数学抽象的核心素养. 2.理解复合函数的求导法则,并能求简单的复合函数的导数,发展学生的数学运算素养. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 [问题1] 假设某商品的利润y是销售量u的函数,销售量u是销售价格x的函数,且y=f(u)=60u-u2,u=g(x)=60-3x,那么,不难看出,利润y是销售价格x的函数,且有y=60u-u2=60(60-3x)-(60-3x)2=180x-9x2,上式也可这样得到f(g(x))= 60g(x)-[g(x)]2=180x-9x2. 函数f(g(x))与f(x)和g(x)是什么关系? 提示:f(g(x))是f(x)与g(x)的复合函数. 知识探究 数学 1.复合函数的概念 一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示 成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作 . y=f(g(x)) 解析:y=cosnx,中间变量为u=cos x.故选C. [做一做1] 函数y=cosnx可由(　 　) A.y=un和u=cos xn复合而成 B.y=u和u=cosnx复合而成 C.y=un和u=cos x复合而成 D.y=cos u和u=xn复合而成 C 数学 [问题2] 求问题1中函数f(u)=60u-u2的导数 f′(u)和函数u=g(x)=60-3x的导数u′=g′(x).设y=f(g(x))=180x-9x2,求y′,f′(u)和u′=g′(x),那么y′与f′(u),u′=g′(x)之间有什么关系呢? 提示:f′(u)=60-2u=60-2(60-3x)=6x-60,u′=g′(x)=-3,y′=180-18x,易知y′=f′(u)u′. 2.复合函数的求导法则 一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y′x= ,即y对x的导数等于 . y′u·u′x y对u的导数与u对x的导数的乘积 数学 答案:(1)B 数学 答案:(2)3 (2)曲线y=e2x+x在x=0处的切线的斜率是　　　　.  解析:(2)因为y=e2x+x, 所以y′=2e2x+1, 所以y′|x=0=3, 由导数的几何意义可得曲线y=e2x+x在x=0处的切线的斜率是3. 数学 师生互动·合作探究 [例1] 求下列函数的导数. 探究点一 复合函数的导数 数学 [例1] 求下列函数的导数. (2)y=log2(2x+1); 数学 [例1] 求下列函数的导数. (3)y=e3x+2; 解:(3)设y=eu,u=3x+2, 则y′x=y′uu′x=(eu)′(3x+2)′=3eu=3e3x+2, 即y′=3e3x+2. 数学 [例1] 求下列函数的导数. 数学 方法总结 (1)求复合函数的导数的步骤. (2)求复合函数的导数的注意点:①分解的函数通常为基本初等函数;②求导时分清是对哪个变量求导;③计算结果尽量简洁. 数学 [针对训练] 求下列函数的导数. (1)y=(4-3x)2; 解:(1)y′=[(4-3x)2]′=2(4-3x)·(4-3x)′=2(4-3x)·(-3)=18x-24. 数学 [针对训练] 求下列函数的导数. (3)y=ln(4x-1); 解:(4)y′=(e2x-1)′=e2x-1·(2x-1)′=2e2x-1. 数学 探究点二 复合函数与导数的运算法则的综合应用 数学 数学 数学 方法总结 复合函数求导应注意的问题 (1)在对函数求导时,应仔细观察及分析函数的结构特征,紧扣求导法则,联系学过的求导公式,对不易用求导法则求导的函数,可适当地进行等价变形,以达到化异求同、化繁为简的目的. (2)复合函数的求导熟练后,中间步骤可以省略,即不必再写出函数的复合过程,直接运用公式,由外及内逐层求导. 数学 [针对训练] 求下列函数的导数. (1)y=ln(x-1)+e3x; (2)y=xln(1+2x); 数学 [针对训练] 求下列函数的导数. 数学 探究点三 导数运算法则的综合应用 答案:(1)A 数学 数学 数学 数学 数学 数学 方法总结 解此类问题的关键有两个: (1)求复合函数的导数,这是正确解答的前提条件,要注意把复合函数逐层分解,求导时不要有遗漏; (2)求切线方程,注意切线所过的点是否为切点. 数学 备用例题 [例1] 已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2