5.2.1 基本初等函数的导数-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习课件PPT（人教A版）

5.2　导数的运算 5.2.1　基本初等函数的导数 数学 学习目标 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数,增强数学运算的核心素养. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 高铁是目前非常受欢迎的交通工具,既低碳又快捷.设一高铁走过的路程s关于时间t的函数为s=f(t),求它的瞬时速度,即f(t)的导数. 情境导入 提示:有.求导法则. 探究:根据导数的定义,运算比较复杂,是否有更好的求导方法呢? 数学 知识探究 数学 1.几种常用函数的导数 0 1 3x2 数学 [做一做1] (1)函数f(x)=1的导数是(　 　) A.0 B.1 C.不存在 D.不确定 A 解析:(1)常数函数的导数等于0.故选A. 数学 B 数学 [问题2] 由问题1你能总结出函数y=xα(α∈Q,且α≠0)的导数是什么吗? 提示:能,归纳可得y=xα的导数是y′=αxα-1. 2.基本初等函数的导数公式 0 αxα-1 cos x -sin x axln a ex 数学 [做一做2] (1)若函数y=10x,则y′|x=1=　　　　;  解析:(1)因为y′=10xln 10,所以y′|x=1=10ln 10. 答案:(1)10ln 10 数学 师生互动·合作探究 [例1] 求下列函数的导数. 探究点一 利用导数公式求函数的导数 数学 [例1] 求下列函数的导数. (4)y=lg x; 数学 [例1] 求下列函数的导数. (5)y=5x; 解:(5)因为y=5x,所以y′=5xln 5. 数学 方法总结 (1)若求导函数符合导数公式,则直接利用公式求解. (2)对于不能直接利用公式的类型,一般遵循“先化简,再求导”的基本原则,避免不必要的运算失误. 数学 [针对训练] 求下列函数的导数. (1)y=x12; 解:(1)y′=(x12)′=12x11. (3)y=log5x. 数学 探究点二 利用公式求函数在某点处的导数 数学 方法总结 求函数在某定点(点在函数图象上)的导数的步骤是: (1)先求函数的导函数; (2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值. 数学 数学 (2)函数f(x)=x3,f′(x0)=6,则x0等于(　　) 数学 [例3] 已知P(-1,1),Q(2,4)是曲线y=x2上两点,是否存在与直线PQ垂直的切线,若有,求出切线方程;若没有,说明理由. 探究点三 导数公式的应用 数学 方法总结 求曲线的切线方程时,应注意 (1)切点是曲线与切线的公共点,切点坐标既满足曲线方程也满足切线 方程; (2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率; (3)必须明确已知点是不是切点,如果不是,应先设出切点. 数学 [针对训练] 设P是曲线y=ex上任意一点,求点P到直线y=x的最小距离. 数学 当堂检测 C 数学 2.(2021·湖北襄阳高二期中)一质点的运动方程为s=sin t,则t=1时质点的瞬时速度为(　 　) A.sin 1 B.cos 1 C.-sin 1 D.-cos 1 B 解析:s′=cos t,当t=1时,s′|t=1=cos 1,所以当t=1时质点的瞬时速度为cos 1.故选B. 数学 数学 4.曲线y=ex在点(2,e2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 　　　 　.  数学 点击进入 课时训练·分层突破 数学 1.能根据定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=的导数,发展数学运算的核心素养. [问题1] 你能利用导数的定义求出函数y=f(x)=c的导数吗?类似地你能求出函数y=f(x)=x,y=f(x)=x2,y=f(x)=,y=f(x)=的导数吗? 提示:因为===0, 所以y′==0=0. 同理可求其他函数的导数. 函数 导数 f(x)=c(c为常数) f′(x)= f(x)=x f′(x)= f(x)=x2 f′(x)=2x f(x)=x3 f′(x)= f(x)= f′(x)= f(x)= f′(x)= - (2)若函数f(x)=x2,则曲线y=f(x)在x=处的切线斜率为(　 　) A.0 B.1 C. D.不存在 解析:(2)因为f′(x)=2x, 所以k=f′()=2×=1.故选B. 原函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f′(x)= f(x)=xα(α∈Q,且α≠0) f′(x)= f(x)=sin x f′(x)= f(x)=cos x f′(x)= f(x)=ax(a>0,且a≠1