4.3.1 等比数列的概念-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习课件PPT（人教A版）

4.3　等比数列 4.3.1　等比数列的概念 第一课时　等比数列的概念与通项公式 数学 学习目标 1.通过实例,理解等比数列和等比中项的概念,达成数学抽象的核心素养. 2.探索并掌握等比数列的通项公式,能运用通项公式解决简单的问题,发展逻辑推理、数学运算的核心素养. 3.会判断和证明一个数列是等比数列,提升逻辑推理的核心素养. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”: “今有出门望九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雏,雏有九毛,毛有九色,问各有几何?” [问题1] 试写出“出门望九堤”问题构成的数列. 提示:构成数列:9,92,93,94,95,96,97,98. [问题2] 根据数列相邻两项的关系,上述数列有什么特点? 提示:数列中,从第2项起,每一项与前一项的比都是9. 知识探究 数学 1.等比数列的定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于 . ,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的 ,通常用字母q表示(显然q≠0). [思考1] 等比数列中能有0项吗? 提示:不能. [思考2] 常数列是否一定是等比数列? 提示:常数列都是等差数列,但却不一定是等比数列.如常数列是各项都为0的数列,它就不是等比数列;当常数列各项不为0时,是等比数列,对于含字母的数列应注意讨论. 同一个 常数 公比 数学 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:①中,数列不符合等比数列的定义,故不是等比数列;②中,前3项是等比数列,多于3项时,无法判定,故不能判定是等比数列;③中,当a=0时,不是等比数列;④中,数列符合等比数列的定义,是等比数列.故选A. A 数学 [问题3] 如果2,a,4成等差数列,如何求a?那如果是2,a,4成等比数列,如何求a?答案唯一吗? 2.等比中项 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成 ,那么G叫做a与b的等比中项.此时,G2=ab. 等比数列 数学 [做一做2] 2和8的等比中项为(　 　) A.-4 B.4 C.5 D.-4或4 D 数学 [问题4] (1)如何利用等比数列的定义归纳出等比数列的通项公式? (2)在等比数列{an}中,任意两项an与am有怎样的关系?能否用它们求公比? (其中n> m, m,n∈N*). 提示:(2)an=amqn-m,能用它们求公比. (3)在等比数列{an}的通项公式中,an与n的关系与以前所学过的什么函数 有关? 数学 3.等比数列的通项公式 (1)首项为a1,公比为q(q≠0)的等比数列{an}的通项公式为an= . a1qn-1 amqn-m 数学 师生互动·合作探究 [例1] 在等比数列{an}中. (1)a1=1,a4=8,求an; 探究点一 等比数列的通项公式 解:(1)因为a4=a1q3, 所以8=q3,所以q=2,所以an=a1qn-1=2n-1. (2)an=625,n=4,q=5,求a1. 数学 方法总结 与求等差数列的通项公式的基本量一样,求等比数列的通项公式的基本量也常运用方程的思想和方法.从方程的观点看等比数列的通项公式an=a1· qn-1(a1q≠0)中包含了四个量,已知其中的三个量,可以求得另一个量.求解时,要注意应用q≠0验证求得的结果. 数学 [针对训练] 在等比数列{an}中, (1)a4=2,a7=8,求an; 数学 [针对训练] 在等比数列{an}中, (2)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n. 数学 [例2] 有四个数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,第一个数与第四个数之和为16,第二个数与第三个数之和为12,求这四个数. 探究点二 等比中项及其应用 数学 数学 变式探究:将本例条件“第一个数与第四个数的和为16”改为“前三个数的和为48”,将“第二个数与第三个数的和为12”改为“后三个数的积为 8 000”,其他条件不变,求这四个数. 数学 方法总结 (2)在一个等比数列中,从第二项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项. (4)四个数成等比数列,不能确定它们的符号相同时,可设为a,aq,aq2,aq3. 数学 [针对训练] 有四个实数,前三个数成等比数列,且它们的乘积为216,后三个数成等差数列,且它们之和为12,求这四个数. 数学 探究点三 等比数列的判定与证明 数学 数学 方法总结 (3)通项公式法:若数列{an}的通项公式为an=a1qn-1(a1≠0,q≠0),则数列{an}是等比数列. 数学 备用例题 [例1] 若等比数列{an}的前三项分