难点冲刺02 全等三角形八大常见模型-2023-2024学年八年级数学上册重难热点提升精讲与过关测试（人教版）

难点冲刺02全等三角形八大常见模型 模型一、平移模型 沿一边所在直线平移可使两个三角形重合.图示: 常用解题思路: （1）在平移的直线上,根据线段的和(差)中点等得到对应边相等;（2）利用平行线的性质得到对应角相等. 模型二、轴对称模型 所给图形沿某一直线折叠,直线两边的部分完全重合.图示: 常用解题思路: （1）利用公共边、线段的和差等得到对应边相等; （2）利用对顶角、公共角、角的和差、垂直的定义等得到对应角相等 模型三、旋转模型 1.不共顶点:绕某一顶点旋转,再平移后两个三角形重合.图示: 常用解题思路: （1）利用线段的和差、公共边等得到对应边相等;（2）利用平行线的性质得到对应角相等. 2.共顶点:绕某一顶点旋转一定角度后两个三角形重合.图示: 常用解题思路: （1）利用线段的中点等得到对应边相等;（2）利用角的和差、对顶角、垂直的定义等得到对应角相等. 模型四、一线三等角模型 三等角()在同一直线上(等角可以为锐角、钝角、直角.特别地,等角为直角时,称为一线三垂直模型).图示: 常用解题思路: (1)等角为锐角或钝角时,利用已知等角三角形的内角和及外角等得到对应角相等; (2)等角为直角时,利用同角(等角)的余角相等得到对应角相等 模型五、倍长中线模型 适用条件:已知条件中涉及“中点”、“中线”等问题. 已知:如图,在中,是边上的中线 作法:如图,延长AD至点,使,连接. 结论:(SAS) 模型六、半角模型模型 等边三角形含半角 已知:是等边三角形, ,, 结论:, 正方形含半角 已知:四边形是正方形,. 结论:,. 等腰直角三角形含半角 已知:是等腰直角三角形,,. 结论:. 模型七、手拉手模型 基本模型 已知:在和中, ,连接相交于,连接 结论1:, 结论2:, 结论3:平分. 模型八、截长补短模型 适用条件:已知条件或求证中涉及“角的平分线”、“线段的和差倍分”等问题. 已知:如图,在中,平分 截长法 作法:如图,在上取一点,使,连接， 结论: 补短法： 作法:如图,延长至点,使,连接， 结论: 题型一、平移模型 【例1】如图，将沿方向平移得到，使点的对应点恰好落在边的中点上，点的对应点在的延长线上，连接，、交于点．下列结论一定正确的是（ ） A． B． C． D．、互相平分 【例2】如图，点B、E、C、F四点在一条直线上，∠A=∠D，AB//DE，老师说：再添加一个条件就可以使△ABC≌△DEF．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加AB=DE；乙说：添加AC//DF；丙说：添加BE=CF． （1）甲、乙、丙三个同学说法正确的是________； （2）请你从正确的说法中选择一种，给出你的证明． 【变式1-1】已知：如图，点在同一直线上，，．    求证： (1)． (2)若，求的度数． 【变式1-2】已知，，将沿方向平移得到．如图，连接、，则__________（填“>”“<”或“=”），并证明． 【变式1-3】如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，，．给出下列三个条件：①，②，③． (1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得．你选取的条件序号为______，你判定的依据是______（填“”或“”或“”或“”）； (2)请用（1）中所选条件证明； (3)可看作是由沿方向平移得到的，过B作于M，当，，是以为腰的等腰三角形时，直接写出平移距离的长． 题型二、轴对称模型 【例3】如图，在和中，，若要判定，则添加的条件不可能是（    ） A． B． C． D． 【例4】如图，已知，添加以下条件，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，与相交于点，，，，点从点A出发，沿方向以的速度往返运动，点从点出发，沿方向以的速度单向运动，、两点同时出发，当点到达点A时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为（s）．    (1)求证：． (2)填空：线段________，线段________，（用含的式子表示）． (3)连接，当线段经过点时，求的值． 【变式2-2】如图所示，是的中线，，，垂足分别为F，E，．求证：．    【变式2-3】如图，点，，，在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型三、旋转模型 【例5】已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD． (1)如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．直接写出BD和CE数量关系和位置关系． (2)如图2，当点D在线段BC延长线上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE，画出图形．（1）的结论还成立吗?若成立，请证明； 若不成立，说明理由． 【例6