5.3.1 函数的单调性-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习全书word（人教A版）

5.3　导数在研究函数中的应用 5.3.1　函数的单调性 学习目标 1.理解导数与函数的单调性的关系,发展直观想象和逻辑推理的核心素养. 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法,增强逻辑推理的核心素养. 3.会用导数求函数的单调区间,提升数学运算的核心素养. 　　竖直上抛一个小沙袋,沙袋的高度h是时间t的函数,设为h(t),其图象如图所示.横轴表示时间t,纵轴表示沙袋的高度h,设沙袋的最高点为A,其横坐标为t=t0.小沙袋从a到t0这段时间内运动速度越来越慢,从t0到b这段时间内,运动速度越来越快. 探究:怎样才能更深刻地研究速度变化的各区间呢? 提示:我们可以利用导数来判断函数的单调性,从而可研究速度变化的各个区间. [问题1] 观察下面几个图象,探究函数的单调性和导数的正负的关系. 提示:(1)函数y=x的定义域为R,并且在定义域上是增函数,其导数y′=1>0. (2)函数y=x2的定义域为R,在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,其导数为y′=2x,当x<0时,其导数y′<0;当x>0时,其导数y′>0;当x=0时,其导数y′=0. (3)函数y=x3的定义域为R,在定义域上为增函数.而y′=3x2,当x≠0时,其导数3x2>0;当x=0时,其导数3x2=0. (4)函数y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递减,而y′=-,因为x≠0,所以y′<0. 从以上四个函数的单调性及其导数正负的关系上说明,在某个区间(a,b)上,如果f′(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间上单调递增;如果f′(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间上单调递减. 1.函数的单调性与其导函数正负的关系 一般地,在区间(a,b)上函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间有如下关系: 导函数 函数的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 f′(x)=0 常函数 [思考1] 在区间(a,b)上,函数f(x)单调递增是f′(x)>0的什么条件? 提示:必要不充分条件. [思考2] 若函数f(x)的单调递增区间是A,且f(x)在区间B上单调递增,那么A与B是什么关系? 提示:B⊆A. [问题2] 观察下图,试分析函数增长或减少的速度与导数大小的关系? 提示:由图象可知若f′(x)>0,则f(x)单调递增,而导数值的大小不同决定了函数增长的快慢,显然f′(x)越大,函数f(x)增长的就越快;同样,若f′(x)<0,则f(x)单调递减,显然|f′(x)|越大,函数f(x)递减的就越快. 2.函数图象的变化趋势与导函数值大小的关系 一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得较快,这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数在这个范围内变化得较慢,函数的图象就比较“平缓”. [做一做] (1) 函数y=f(x)的图象如图所示,则在区间(1,3)内,有(　　) A.f′(x)>0 B.f′(x)<0 C.f′(x)=0 D.f′(x)的符号不确定 (2) 设f′(x)是函数f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如图所示,则y=f(x)的单调递增区间为　,  单调递减区间为　　　　;  (3)若函数f(x)=x-kln x在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是　　　　.  解析:(1)在区间(1,3)内,函数y=f(x)的图象是下降的,函数单调递减,所以f′(x)<0.故选B.(2)由题意可知当x<0或x>2时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,当x∈(0,2)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减. (3)f(x)=x-kln x在区间(1,+∞)上单调递增, 所以f′(x)=1-≥0在区间(1,+∞)上恒成立, 即k≤x在区间(1,+∞)上恒成立,故k≤1. 答案:(1)B　(2)(-∞,0)和(2,+∞)　(0,2)　(3)(-∞,1] 　函数与导函数图象间的关系 [例1] (1)设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f′(x)的图象可能为(　　) (2)已知f′(x)是f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象只可能是(　　) 解析:(1)由函数的图象可知,当x<0时,函数单调递增,导函数始终为正;当x>0时,函数先增后减再增,即导函数先正后负再正,对照选项可知D正确.故选D. (2)从f′(x)的图象可以看出,在区间(a,)内,导函数单调递增;在区间(,b)内,导函数单调递减.即函数 f(x)的图象在(a,)内越来越陡,在(,b)内越来越平缓,由此可知,只有选项D符合.故选D. 研究函数与导函数图象之间关系的方法 研究一个函数的