5.2.3 简单复合函数的导数-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习全书word（人教A版）

5.2.3　简单复合函数的导数 学习目标 1.了解复合函数的概念,达成数学抽象的核心素养. 2.理解复合函数的求导法则,并能求简单的复合函数的导数,发展学生的数学运算素养. [问题1] 假设某商品的利润y是销售量u的函数,销售量u是销售价格x的函数,且y=f(u)=60u-u2,u=g(x)=60-3x,那么,不难看出,利润y是销售价格x的函数,且有y=60u-u2=60(60-3x)-(60-3x)2=180x-9x2,上式也可这样得到f(g(x))=60g(x)-[g(x)]2=180x-9x2. 函数f(g(x))与f(x)和g(x)是什么关系? 提示:f(g(x))是f(x)与g(x)的复合函数. 1.复合函数的概念 一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x)). [做一做1] 函数y=cosnx可由(　C　) A.y=un和u=cos xn复合而成 B.y=u和u=cosnx复合而成 C.y=un和u=cos x复合而成 D.y=cos u和u=xn复合而成 解析:y=cosnx,中间变量为u=cos x.故选C. [问题2] 求问题1中函数f(u)=60u-u2的导数 f′(u)和函数u=g(x)=60-3x的导数u′=g′(x).设y=f(g(x))=180x-9x2,求y′, f′(u)和u′=g′(x),那么y′与f′(u),u′=g′(x)之间有什么关系呢? 提示:f′(u)=60-2u=60-2(60-3x)=6x-60,u′=g′(x)=-3,y′=180-18x,易知y′=f′(u)u′. 2.复合函数的求导法则 一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y′x=y′u·u′x,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. [做一做2] (1)设f(x)=ln(2x+1),则f′(x) 等于(　 　) A. B. C.- D.- (2)曲线y=e2x+x在x=0处的切线的斜率是　　　　.  解析:(1)f′(x)=[ln(2x+1)]′(2x+1)′=.故选B. (2)因为y=e2x+x, 所以y′=2e2x+1, 所以y′|x=0=3, 由导数的几何意义可得曲线y=e2x+x在x=0处的切线的斜率是3. 答案:(1)B　(2)3 　复合函数的导数 [例1] 求下列函数的导数. (1)y=;(2)y=log2(2x+1); (3)y=e3x+2;(4)y=sin(2x+). 解:(1)y=(1-2x, 设y=,u=1-2x, 则y′x=y′uu′x=()′(1-2x)′ =(-)·(-2)=(1-2x, 即y′=(1-2x. (2)设y=log2u,u=2x+1, 则y′x=y′uu′x=(log2u)′(2x+1)′ =×2=, 即y′=. (3)设y=eu,u=3x+2, 则y′x=y′uu′x=(eu)′(3x+2)′=3eu=3e3x+2, 即y′=3e3x+2. (4)设y=sin u,u=2x+, 则y′x=y′uu′x=(sin u)′(2x+)′ =cos u×2=2cos(2x+), 即y′=2cos(2x+). (1)求复合函数的导数的步骤. (2)求复合函数的导数的注意点:①分解的函数通常为基本初等函数;②求导时分清是对哪个变量求导;③计算结果尽量简洁. [针对训练] 求下列函数的导数. (1)y=(4-3x)2;(2)y=cos(2x-); (3)y=ln(4x-1);(4)y=e2x-1. 解:(1)y′=[(4-3x)2]′=2(4-3x)·(4-3x)′ =2(4-3x)·(-3)=18x-24. (2)y′=[cos(2x-)]′=-sin(2x-)·(2x-)′=-2sin(2x-). (3)y′=[ln(4x-1)]′=·(4x-1)′=. (4)y′=(e2x-1)′=e2x-1·(2x-1)′=2e2x-1. 　复合函数与导数的运算法则的 　综合应用 [例2] 求下列函数的导数. (1)y=; (2)y=x; (3)y=xcos(2x+)sin(2x+). 解:(1)因为(ln 3x)′=×(3x)′=, 所以y′= = =. (2)y′=(x)′ =(x)′+x()′ =+x··(1+2x)′ =+ =. (3)因为y=xcos(2x+)sin(2x+) =x(-sin 2x)cos 2x =-xsin 4x, 所以y′=(-xsin 4x)′ =-sin 4x-·4·cos 4x =-sin 4x-2xcos 4x. 复合