5.2.1 基本初等函数的导数-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习全书word（人教A版）

5.2　导数的运算 5.2.1　基本初等函数的导数 学习目标 1.能根据定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=的导数,发展数学运算的核心素养. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数,增强数学运算的核心素养. 　　高铁是目前非常受欢迎的交通工具,既低碳又快捷.设一高铁走过的路程s关于时间t的函数为s=f(t),求它的瞬时速度,即f(t)的导数. 探究:根据导数的定义,运算比较复杂,是否有更好的求导方法呢? 提示:有.求导法则. [问题1] 你能利用导数的定义求出函数y=f(x)=c的导数吗?类似地你能求出函数y=f(x)=x,y=f(x)=x2,y=f(x)=,y=f(x)=的导数吗? 提示:因为===0, 所以y′==0=0. 同理可求其他函数的导数. 1.几种常用函数的导数 函数 导数 f(x)=c(c为常数) f′(x)=0 f(x)=x f′(x)=1 f(x)=x2 f′(x)=2x f(x)=x3 f′(x)=3x2 f(x)= f′(x)=- f(x)= f′(x)= [做一做1] (1)函数f(x)=1的导数是(　A　) A.0 B.1 C.不存在 D.不确定 (2)若函数f(x)=x2,则曲线y=f(x)在x=处的切线斜率为(　B　) A.0 B.1 C. D.不存在 解析:(1)常数函数的导数等于0.故选A. (2)因为f′(x)=2x, 所以k=f′()=2×=1.故选B. [问题2] 由问题1你能总结出函数y=xα(α∈Q,且α≠0)的导数是什么吗? 提示:能,归纳可得y=xα的导数是y′=αxα-1. 2.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f′(x)=0 f(x)=xα(α∈Q,且α≠0) f′(x)=αxα-1 f(x)=sin x f′(x)=cos x f(x)=cos x f′(x)=-sin x f(x)=ax(a>0,且a≠1) 特别地,f(x)=ex f′(x)=axln a f′(x)=ex f(x)=logax(a>0,且a≠1) 特别地,f(x)=ln x f′(x)= f′(x)= [做一做2] (1)若函数y=10x,则y′|x=1=　　　　;  (2)曲线y=sin x在(,)处的切线方程为　　　　　　　　　.  解析:(1)因为y′=10xln 10,所以y′|x=1=10ln 10. (2)因为k=(sin x)′|=cos =, 所以切线方程为y-=(x-), 即4x-8y+(4-π)=0. 答案:(1)10ln 10　(2)4x-8y+(4-π)=0 　利用导数公式求函数的导数 [例1] 求下列函数的导数. (1)y=cos ;(2)y=;(3)y=; (4)y=lg x;(5)y=5x;(6)y=cos (-x). 解:(1)因为y=cos =,所以y′=0. (2)因为y==x-5,所以y′=-5x-6. (3)因为y===,所以y′=. (4)因为y=lg x, 所以y′=. (5)因为y=5x, 所以y′=5xln 5. (6)因为y=cos (-x)=sin x, 所以y′=cos x. (1)若求导函数符合导数公式,则直接利用公式求解. (2)对于不能直接利用公式的类型,一般遵循“先化简,再求导”的基本原则,避免不必要的运算失误. (3)要特别注意“与ln x”“ax与logax”“sin x与cos x”的导数的区别. [针对训练] 求下列函数的导数. (1)y=x12;(2)y=;(3)y=log5x. 解:(1)y′=(x12)′=12x11. (2)y′=()′=()′=. (3)y′=(log5x)′=. 　利用公式求函数在某点处的导数 [例2] (1)求函数f(x)=在(1,1)处的导数; (2)求函数f(x)=cos x在(,)处的导数. 解:(1)因为f′(x)=()′=()′=-=-, 所以f′(1)=-=-. (2)因为f′(x)=-sin x, 所以f′()=-sin =-. 求函数在某定点(点在函数图象上)的导数的步骤是: (1)先求函数的导函数; (2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值. [针对训练] (1)(2021·山东肥城高二期中)函数y=cos x在点(-,0)处的切线方程是(　　) A.y=x- B.y=x+ C.y=-x+ D.y=-x- (2)函数f(x)=x3,f′(x0)=6,则x0等于(　　) A. B.- C.±1 D.± 解析:(1)由y=cos x,得y′=-sin x, 所以切线的斜率为k=-sin(-)=1, 所以所求的切线方程为y=x+.故选B. (2)因为f′(x)=3x2,所以f